大学受験数学 全国模試 第052回
この回のテストポイント
- 第1問：集合の包含関係と必要十分条件（集合と命題）
- 第2問：楕円の焦点と交点（平面上の曲線）
- 第3問：一次変換による平均と分散の変化（データの分析）
- 第4問：導関数の符号と極値（微分）
- 第5問：空間の内積と直線上の垂足（空間ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 集合と命題（20点）
全体集合を \(U=\{1,2,\ldots,13\}\) とし、\(A=\{x\in U\mid x\leq10\}\)、\(B=\{x\in U\mid 7\leq x\leq8\}\) とする。
- 集合 \(A\cap\overline{B}\) の要素の個数を求めなさい。（10点）
- 条件「\(x\in A\)」は条件「\(x\in B\)」の必要条件・十分条件・必要十分条件・いずれでもない、のどれか答えなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
楕円 \\(\frac{x^2}{1225}+\frac{y^2}{441}=1\\) を考える。
- 2つの焦点の座標を求めなさい。（10点）
- 直線 \(x=21\) と楕円の交点を求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
あるデータ \(x\) の平均は \(7\)、分散は4である。すべての値を \(y=3x+2\) に変換する。
- \(y\) の平均を求めなさい。（10点）
- \(y\) の分散と標準偏差を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
\(f(x)=x^3-21x^2\) とする。
- 増加する区間と減少する区間を求めなさい。（10点）
- 極大値と極小値を求めなさい。（10点）
第5問 空間ベクトル（20点）
空間で \(O=(0,0,0)\)、\(A=(1,2,2)\)、\(P=(7,0,0)\) とする。点 \(P\) から直線 \(OA\) への垂足を \(H\) とする。
- \(H=t(1,2,2)\) とおき、\(t\) を求めなさい。（10点）
- 距離 \(PH\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 集合の包含関係と必要十分条件
\(B\subset A\) で、\(B\) の要素は2個。\(A\cap\overline B\) は \(A\) からこの2個を除いた集合である。\(x\in B\Rightarrow x\in A\) は成り立つが、例えば \(x=1\) では逆が成り立たない。
- 答え
\[ \boxed{8} \] - 答え
\[ \boxed{\text{必要条件}} \]
第2問 楕円の焦点と交点
長半径は \(a=35\)、短半径は \(b=21\)。焦点距離は \\(c=\sqrt{a^2-b^2}=28\\)。直線を代入すると \\(y^2/441=1-9/25=16/25\\)。
- 答え
\[ \boxed{(28,0),\ (-28,0)} \] - 答え
\[ \boxed{(21,\frac{84}{5}),\ (21,-\frac{84}{5})} \]
第3問 一次変換による平均と分散の変化
平均は同じ一次変換を受ける。平均との差は \(y-\bar y=3(x-\bar x)\) となるため、分散は倍率の2乗で9倍になる。平行移動の2は分散に影響しない。標準偏差は分散の正の平方根。
- 答え
\[ \boxed{23} \] - 答え
\[ \boxed{V(y)=36,\ \text{標準偏差}=6} \]
第4問 導関数の符号と極値
\(f'(x)=3x(x-14)\)。導関数は \(x<0\)、\(x>14\) で正、\(0<x<14\) で負。符号が正から負に変わる \(x=0\) で極大、負から正に変わる \(x=14\) で極小となる。
- 答え
\[ \boxed{\text{増加}:x<0,\ x>14;\ \text{減少}:0<x<14} \] - 答え
\[ \boxed{\text{極大値}=0,\ \text{極小値}=-1372} \]
第5問 空間の内積と直線上の垂足
より \(7-9t=0\)。垂直な分解から \(PH^2=OP^2-OH^2=49-49/9\)。
- 答え
\[ \boxed{t=\frac{7}{9}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{14\sqrt2}{3}} \]