大学受験数学 全国模試 第051回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値の範囲と共通部分（数と式）
- 第2問：等距離条件から軌跡を導く（図形と方程式）
- 第3問：二項分布の確率と期待値（確率分布）
- 第4問：微分係数と接線の方程式（微分）
- 第5問：内分ベクトルと面積比（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
実数 \(x\) について、\(|x-7|\leq3\) を考える。
- この不等式の解を求めなさい。（10点）
- さらに \(x>8\) を満たす整数 \(x\) をすべて求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
点 \(A=(-7,0)\)、\(B=(7,0)\) から等距離にある点 \(P=(x,y)\) を考える。
- \(P\) の軌跡の方程式を求めなさい。（10点）
- さらに \(PA=\sqrt{58}\) を満たす \(P\) の座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 確率分布（20点）
成功確率 \(1/2\) の独立な試行を \(9\) 回行う。成功回数を \(X\) とする。
- \(X=1\) となる確率を求めなさい。（10点）
- \(X\) の期待値と分散を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
曲線 \(y=x^3\) 上の点 \(P=(7,343)\) を考える。
- 点 \(P\) における接線の傾きを求めなさい。（10点）
- この接線の方程式を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
三角形 \(OAB\) で \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)。\(AB\) を \(AP:PB=1:7\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec a,\vec b\) で表しなさい。（10点）
- 三角形 \(OAP\) の面積は三角形 \(OAB\) の面積の何倍か求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 絶対値の範囲と共通部分
絶対値は数直線上の距離なので、\(-3\leq x-7\leq3\)。第2小問ではこの区間と \(x>8\) の共通部分をとる。端点の等号の有無に注意する。
- 答え
\[ \boxed{4\leq x\leq10} \] - 答え
\[ \boxed{x=9,\ 10} \]
第2問 等距離条件から軌跡を導く
\(PA^2=PB^2\) を展開すると \((x+7)^2+y^2=(x-7)^2+y^2\) から \(28x=0\)。軌跡は垂直二等分線である。\(x=0\) を追加条件に代入すると \\(y^2=9\\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0} \] - 答え
\[ \boxed{(0,3),\ (0,-3)} \]
第3問 二項分布の確率と期待値
成功する1回の位置が \(9\) 通りあり、各並びの確率は \((1/2)^{9}\)。二項分布 \(B(n,p)\) の期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{\frac{9}{512}} \] - 答え
\[ \boxed{E(X)=\frac{9}{2},\ V(X)=\frac{9}{4}} \]
第4問 微分係数と接線の方程式
導関数は \\(y'=3x^2\\) なので、接線の傾きは \(147\)。点と傾きから \(y-343=147(x-7)\) とおき、整理する。
- 答え
\[ \boxed{147} \] - 答え
\[ \boxed{y=147x-686} \]
第5問 内分ベクトルと面積比
内分公式で \(\overrightarrow{OP}=(7\vec a+\vec b)/8\)。係数は向かい側の比になる。2つの三角形は \(O\) から直線 \(AB\) への高さが共通なので、面積比は \(AP/AB=1/8\)。
- 答え
\[ \boxed{\frac{7\vec a+\vec b}{8}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{8}} \]