大学受験数学 全国模試 第050回
この回のテストポイント
- 第1問：一次不等式のモデル化と整数条件（数と式）
- 第2問：円の方程式と接線（図形と方程式）
- 第3問：組合せによる委員選出（場合の数・確率）
- 第4問：置換による指数方程式（指数関数）
- 第5問：等比数列の和から項数を逆算（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
施設Aの料金は基本料 \(600\) 円と1時間ごとに200円、施設Bは基本料0円と1時間ごとに300円である。利用時間を正の整数 \(n\) 時間とする。
- AがBより安くなる \(n\) の条件を求めなさい。（10点）
- AがBより安くなる最短の利用時間と、そのときのAの料金を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
円 \((x-6)^2+(y-2)^2=25\) と、その上の点 \(P=(9,6)\) を考える。
- 円の中心と半径を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) における接線の方程式を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数・確率（20点）
男子 \(8\) 人、女子3人から、3人の委員を選ぶ。各3人の組は同じ確率で選ばれる。
- 男子2人、女子1人となる選び方は何通りか。（10点）
- 男子2人、女子1人となる確率を求めなさい。（10点）
第4問 指数関数（20点）
\(4^x-(64+2)2^x+128=0\) を考える。
- \(t=2^x\) とおいて、\(t\) の値をすべて求めなさい。（10点）
- \(x\) の値をすべて求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
初項 \(6\)、公比2の等比数列を \(\{a_n\}\) とする。
- 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。（10点）
- \(S_n=186\) となる \(n\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 一次不等式のモデル化と整数条件
料金はAが \(600+200n\)、Bが \(300n\) なので、比較すると \(100n>600\)。時間は整数だから、最小の \(n\) は境界より1大きい。
- 答え
\[ \boxed{n>6} \] - 答え
\[ \boxed{7\ \text{時間},\ 2000\ \text{円}} \]
第2問 円の方程式と接線
標準形から中心は \((6,2)\)、半径は5。半径の方向は \((3,4)\) なので接線の法線ベクトルも \((3,4)\)。\(3(x-9)+4(y-6)=0\) を整理する。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}(6,2),\ \text{半径}5} \] - 答え
\[ \boxed{3x+4y=51} \]
第3問 組合せによる委員選出
順序を区別しないので組合せを使う。男子2人を \(\binom{8}{2}\) 通り、女子1人を3通りで選び、掛け合わせる。全体は \(\binom{11}{3}=165\) 通り。
- 答え
\[ \boxed{84} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{28}{55}} \]
第4問 置換による指数方程式
\(t>0\) に注意し、\(t^2-(64+2)t+128=(t-2)(t-64)\) と因数分解する。2つの根はいずれも正。\(2^x=2\) または \(2^x=2^6\) に戻す。
- 答え
\[ \boxed{t=2,\ 64} \] - 答え
\[ \boxed{x=1,\ 6} \]
第5問 等比数列の和から項数を逆算
等比数列の和より \(S_n=6(2^n-1)/(2-1)\)。指定された和から \(2^n-1=31\)、つまり \(2^n=32\) を解く。
- 答え
\[ \boxed{S_n=6(2^n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{n=5} \]