大学受験数学 全国模試 第049回
この回のテストポイント
- 第1問：条件の式化と面積の最適化（二次関数の活用）
- 第2問：円の接線と方べき（図形の性質）
- 第3問：順列の隣接条件と余事象（場合の数）
- 第4問：負の判別式と共役な解（複素数と方程式）
- 第5問：等差数列の条件から一般項と和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数の活用（20点）
長方形の周の長さは \(24\) cmである。一辺を \(x\) cmとし、\(0<x<12\) とする。
- 面積 \(S\) を \(x\) の式で表しなさい。（10点）
- 面積の最大値と、そのときの辺の長さを求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
円の外部の点 \(P\) から引いた割線が円と近い順に \(A,B\) で交わり、\(PA=6\)、\(PB=24\) とする。\(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\) とする。
- 接線の長さ \(PT\) を求めなさい。（10点）
- 同じ点 \(P\) を通る別の割線の交点を近い順に \(C,D\) とし、\(PC=2\) のとき \(PD\) を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数（20点）
A、Bを含む互いに異なる \(9\) 人が一列に並ぶ。階乗 \(n!\) を用いて答えてよい。
- AとBが隣り合う並び方は何通りか。（10点）
- AとBが隣り合わない並び方は何通りか。（10点）
第4問 複素数と方程式（20点）
\\(x^2-12x+40=0\\) を複素数の範囲で解く。虚数単位を \(i\) とする。
- 2つの解を求めなさい。（10点）
- その2解を \(\alpha,\beta\) として、\(\alpha\beta\) と \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
等差数列 \(\{a_n\}\) は \(a_3=10\)、\(a_7=18\) を満たす。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第10項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 条件の式化と面積の最適化
もう一辺は \(12-x\) cm。したがって \(S=x(12-x)=-(x-6)^2+36\)。頂点は許された区間内にあり、2辺が等しいとき面積が最大となる。
- 答え
\[ \boxed{S=x(12-x)} \] - 答え
\[ \boxed{36\ \mathrm{cm}^2,\ \text{両辺}\ 6\ \mathrm{cm}} \]
第2問 円の接線と方べき
方べきの定理より \(PT^2=PA\cdot PB=144\)。別の割線でも \(PC\cdot PD=144\) である。長さは正なので平方根の正の値をとる。
- 答え
\[ \boxed{12} \] - 答え
\[ \boxed{72} \]
第3問 順列の隣接条件と余事象
AとBを1組とみると、組を含む \(8\) 個の並べ方は \(8!\) 通り。組内の順序は2通りである。隣り合わない並び方は全体 \(9!\) から隣り合う並び方を引く。
- 答え
\[ \boxed{2\cdot8!} \] - 答え
\[ \boxed{9!-2\cdot8!} \]
第4問 負の判別式と共役な解
平方完成すると \((x-6)^2=-4\) なので、解は共役な複素数 \(6\pm2i\)。和は \(12\)、積は \(40\)。平方の和は和の2乗から積の2倍を引いて求める。
- 答え
\[ \boxed{x=6\pm2i} \] - 答え
\[ \boxed{\alpha\beta=40,\ \alpha^2+\beta^2=64} \]
第5問 等差数列の条件から一般項と和
第3項から第7項へ4回公差を加えるので、公差は \((18-10)/4=2\)。初項は \(a_3-4=6\)。和は項数×（初項＋末項）÷2で求める。
- 答え
\[ \boxed{a_n=6+2(n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{150} \]