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大学受験数学 全国模試 第048回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　二次関数（20点）

放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=12x+13\) を考える。

  1. 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
  2. 放物線が直線より下にある \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）

第2問　図形の性質（20点）

三角形 \(ABC\) で \(AB=12\)、\(AC=18\)、\(BC=24\) とする。\(\angle A\) の内角の二等分線と \(BC\) の交点を \(D\) とする。

  1. \(BD\) と \(DC\) を求めなさい。（10点）
  2. 三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) の面積の比を求めなさい。（10点）

第3問　統計的な推測（20点）

製品の平均重量が \(106\) gより小さくなったか調べる。母標準偏差は既知で6 g、母集団は正規分布とする。36個の独立な標本の平均は \(104\) gだった。帰無仮説は \(\mu=106\)、対立仮説は \(\mu<106\)。有意水準5%の下側片側検定の棄却域は \(Z<-1.645\) とする。

  1. 検定統計量 \(Z\) を求めなさい。（10点）
  2. 帰無仮説を棄却するか。平均重量について、この検定から言えることを書きなさい。（10点）

第4問　式と証明（20点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) を \(x-1\) で割った余りは \(6\)、\(x+1\) で割った余りは \(8\) である。

  1. 係数 \(a,b\) を求めなさい。（10点）
  2. \(P(x)\) を \(x-2\) で割った余りを求めなさい。（10点）

第5問　複素数平面（20点）

複素数 \(z\) は \(|z-(6+2i)|=3\) を満たす。

  1. この軌跡の中心を表す複素数と半径を答えなさい。（10点）
  2. この軌跡と直線 \(\operatorname{Re}(z)=k\) との交点を表す複素数をすべて求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　交点と上下関係

交点の条件を整理すると \(x^2-12x-13=(x+1)(x-13)=0\)。下にある条件はこの積が負になることであり、2つの根の間となる。

  1. 答え
    \[ \boxed{x=-1,\ 13} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{-1<x<13} \]

第2問　角の二等分線と辺の比

角の二等分線の定理より \(BD:DC=AB:AC=2:3\)。辺全体を5等分して配分する。2つの三角形は直線 \(BC\) に対する高さが共通なので、面積比も底辺の比に一致する。

  1. 答え
    \[ \boxed{BD=\frac{48}{5},\ DC=\frac{72}{5}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{2:3} \]

第3問　片側検定の棄却域と結論

帰無仮説の下で標本平均の標準偏差は \(6/\sqrt{36}=1\)。したがって \(Z=(104-106)/1=-2\)。これは棄却域に入るので、有意水準5%で平均が基準値より小さくなったと判断する。

  1. 答え
    \[ \boxed{-2} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\text{棄却する。平均重量が基準値より小さいと判断する}} \]

第4問　剰余の定理と係数決定

剰余の定理で \(P(1)=1+a+b=6\)、\(P(-1)=-1-a+b=8\)。連立すると \(a=-2,b=7\)。最後の余りは \(P(2)=8+2a+b\) である。

  1. 答え
    \[ \boxed{a=-2,\ b=7} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{11} \]

第5問　絶対値の軌跡と円の位置

絶対値は複素数平面上の距離なので中心は \(6+2i\)、半径は3。\(z=6+yi\) を代入すると \(|(y-2)i|=3\)、すなわち \(y=5,-1\)。

  1. 答え
    \[ \boxed{\text{中心}=6+2i,\ \text{半径}=3} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{z=6+5i,\ 6-i} \]