大学受験数学 全国模試 第047回
この回のテストポイント
- 第1問：積の符号と整数解（二次不等式）
- 第2問：余弦定理から角と面積を決定（三角比）
- 第3問：母平均の信頼区間と標本数（統計的な推測）
- 第4問：2曲線間の面積と上下関係（積分）
- 第5問：複素数の乗法による回転（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 二次不等式（20点）
\((x-6)(x-10)>0\) を考える。
- 不等式の解を求めなさい。（10点）
- \(0\leq x\leq12\) の整数のうち、この不等式を満たすものの個数を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=AC=6\)、\(BC=6\sqrt{3}\) とする。
- \(\angle A\) を求めなさい。（10点）
- 三角形の面積を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母標準偏差10の正規母集団から100個の独立な標本をとったところ、標本平均は \(56\) だった。母標準偏差は既知とし、95%信頼区間の式 \(\overline x\pm1.96\sigma/\sqrt n\) を用いる。
- 母平均の95%信頼区間を求めなさい。（10点）
- 同じ母標準偏差で区間の幅を半分にしたい。必要な標本数を求めなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=6x\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 2曲線で囲まれる部分の面積を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数平面上の点Aは \(z=6+i\) を表す。原点を中心に反時計回りに \(90^\circ\) 回転した点をBとする。
- Bを表す複素数 \(w\) を求めなさい。（10点）
- 線分ABの長さの2乗を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 積の符号と整数解
積が正になるのは2つの零点の外側である。指定された整数では \(0,\ldots,5\) の \(6\) 個と、\(11,12\) の2個を数える。零点は含めない。
- 答え
\[ \boxed{x<6\ \text{または}\ x>10} \] - 答え
\[ \boxed{8} \]
第2問 余弦定理から角と面積を決定
余弦定理で \(108=36+36-72\cos A\) より \(\cos A=-1/2\)。三角形の内角なので \(A=120^\circ\)。面積は \(\frac12 AB\cdot AC\sin A\) で求める。
- 答え
\[ \boxed{120^\circ} \] - 答え
\[ \boxed{9\sqrt{3}} \]
第3問 母平均の信頼区間と標本数
誤差の幅は片側 \(1.96\cdot10/10=1.96\)。全幅は3.92となる。幅は \(1/\sqrt n\) に比例するので、半分にするには標本数を4倍にする。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1351}{25}\leq\mu\leq\frac{1449}{25}} \] - 答え
\[ \boxed{400} \]
第4問 2曲線間の面積と上下関係
\\(x^2=6x\\) より交点は \(x=0,6\)。その間では直線が上にあるので、面積は \(\int_0^6\(6x-x^2\)\,dx=[3x^2-x^3/3]_0^6\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0,\ 6} \] - 答え
\[ \boxed{36} \]
第5問 複素数の乗法による回転
反時計回りの \(90^\circ\) 回転は \(i\) を掛ける操作である。\(w=i(6+i)=-1+6i\)。\(w-z=(-7)+5i\) の絶対値の2乗は実部と虚部の平方和。
- 答え
\[ \boxed{w=-1+6i} \] - 答え
\[ \boxed{74} \]