大学受験数学 全国模試 第046回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係による対称式（二次方程式）
- 第2問：正弦定理と外接円（三角比）
- 第3問：標本平均の分布と標準化（統計的な推測）
- 第4問：積分定数と初期条件（積分）
- 第5問：空間の内積と直線上の垂足（空間ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
\\(x^2-9x+12=0\\) の2つの解を \(\alpha,\beta\) とする。
- 解を直接求めずに \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
- \(\frac1\alpha+\frac1\beta\) を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(\angle A=30^\circ\)、\(\angle B=45^\circ\)、\(BC=6\) とする。
- 外接円の半径 \(R\) を求めなさい。（10点）
- 辺 \(CA\) の長さを求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母平均 \(6\)、母標準偏差4の正規母集団から、独立に16個を抽出し、標本平均を \(\overline X\) とする。標準正規変数 \(Z\) について \(P(-1\leq Z\leq1)=0.6826\) を使ってよい。
- \(\overline X\) の期待値と標準偏差を求めなさい。（10点）
- \(P(5\leq\overline X\leq7)\) を求めなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
多項式 \(F(x)\) は \(F'(x)=3x^2-12x\)、\(F(0)=6\) を満たす。
- \(F(x)\) を求めなさい。（10点）
- \(\int_0^6\(3x^2-12x\)\,dx\) を求めなさい。（10点）
第5問 空間ベクトル（20点）
空間で \(O=(0,0,0)\)、\(A=(1,2,2)\)、\(P=(6,0,0)\) とする。点 \(P\) から直線 \(OA\) への垂足を \(H\) とする。
- \(H=t(1,2,2)\) とおき、\(t\) を求めなさい。（10点）
- 距離 \(PH\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係による対称式
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=9\)、\(\alpha\beta=12\)。平方の和は \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)、逆数の和は \((\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\) で求まる。積が0でないことも確認する。
- 答え
\[ \boxed{57} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{3}{4}} \]
第2問 正弦定理と外接円
正弦定理より \(BC/\sin A=2R\)。\(\sin30^\circ=1/2\) なので \(R=6\)。さらに \(CA=2R\sin45^\circ\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{6} \] - 答え
\[ \boxed{6\sqrt{2}} \]
第3問 標本平均の分布と標準化
標本平均の期待値は母平均、標準偏差は \(\sigma/\sqrt n=4/4=1\)。\(Z=(\overline X-6)/1\) と標準化すると、指定区間は \(-1\leq Z\leq1\) に対応する。
- 答え
\[ \boxed{E(\overline X)=6,\ \text{標準偏差}=1} \] - 答え
\[ \boxed{0.6826} \]
第4問 積分定数と初期条件
不定積分は \(F(x)=x^3-6x^2+C\)。初期条件より \(C=6\)。定積分は原始関数の両端の差であり、\(F(6)-F(0)\) を計算する。積分定数は差で消える。
- 答え
\[ \boxed{F(x)=x^3-6x^2+6} \] - 答え
\[ \boxed{0} \]
第5問 空間の内積と直線上の垂足
より \(6-9t=0\)。垂直な分解から \(PH^2=OP^2-OH^2=36-36/9\)。
- 答え
\[ \boxed{t=\frac{2}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{12\sqrt2}{3}} \]