大学受験数学 全国模試 第045回
この回のテストポイント
- 第1問：判別式による実数解の分類（二次方程式）
- 第2問：空間図形の高さと体積（三角比）
- 第3問：四分位数と外れ値の判定（データの分析）
- 第4問：導関数の符号と極値（微分）
- 第5問：内分ベクトルと面積比（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
実数 \(t\) に対して \\(x^2-12x+t=0\\) を考える。
- 異なる2つの実数解をもつ \(t\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 重解をもつときの \(t\) と、その重解を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
正四角錐の底面の一辺は \(12\)、頂点から底面の各頂点までの辺は \(6\sqrt{3}\) である。
- 四角錐の高さを求めなさい。（10点）
- 四角錐の体積を求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
小さい順に並べた8個のデータは 4、5、6、7、8、9、10、11 である。四分位数は上下各4個の中央値を使う。外れ値は \(Q_1-1.5IQR\) 未満、または \(Q_3+1.5IQR\) より大きい値とする。
- 第1四分位数 \(Q_1\)、第3四分位数 \(Q_3\)、四分位範囲 \(IQR\) を求めなさい。（10点）
- この基準で、新しい観測値 \(16\) は外れ値か判定しなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
\(f(x)=x^3-18x^2\) とする。
- 増加する区間と減少する区間を求めなさい。（10点）
- 極大値と極小値を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
三角形 \(OAB\) で \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)。\(AB\) を \(AP:PB=1:6\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec a,\vec b\) で表しなさい。（10点）
- 三角形 \(OAP\) の面積は三角形 \(OAB\) の面積の何倍か求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 判別式による実数解の分類
判別式は \(D=(-12)^2-4t=4(36-t)\)。異なる2実根の条件は \(D>0\)、重解の条件は \(D=0\) である。重解は軸の位置 \(x=6\) に一致する。
- 答え
\[ \boxed{t<36} \] - 答え
\[ \boxed{t=36,\ x=6} \]
第2問 空間図形の高さと体積
頂点の真下は正方形の中心。中心から底面の頂点までの距離は半対角線 \(6\sqrt{2}\) である。高さ \(h\) に対して \(h^2=108-72=36\)。体積は底面積×高さ÷3。
- 答え
\[ \boxed{6} \] - 答え
\[ \boxed{288} \]
第3問 四分位数と外れ値の判定
下半分の中央2値の平均は \((5+6)/2\)、上半分は \((9+10)/2\)。その差は4である。上側の境界は \(\frac{19}{2}+6=\frac{31}{2}\)。新しい値はこの境界より大きい。
- 答え
\[ \boxed{Q_1=\frac{11}{2},\ Q_3=\frac{19}{2},\ IQR=4} \] - 答え
\[ \boxed{\text{外れ値である}} \]
第4問 導関数の符号と極値
\(f'(x)=3x(x-12)\)。導関数は \(x<0\)、\(x>12\) で正、\(0<x<12\) で負。符号が正から負に変わる \(x=0\) で極大、負から正に変わる \(x=12\) で極小となる。
- 答え
\[ \boxed{\text{増加}:x<0,\ x>12;\ \text{減少}:0<x<12} \] - 答え
\[ \boxed{\text{極大値}=0,\ \text{極小値}=-864} \]
第5問 内分ベクトルと面積比
内分公式で \(\overrightarrow{OP}=(6\vec a+\vec b)/7\)。係数は向かい側の比になる。2つの三角形は \(O\) から直線 \(AB\) への高さが共通なので、面積比は \(AP/AB=1/7\)。
- 答え
\[ \boxed{\frac{6\vec a+\vec b}{7}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{7}} \]