大学受験数学 全国模試 第044回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域付き最大・最小（二次関数）
- 第2問：放物線の定義と焦点・準線（平面上の曲線）
- 第3問：一次変換による平均と分散の変化（データの分析）
- 第4問：微分係数と接線の方程式（微分）
- 第5問：内積と垂直条件（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
\(f(x)=(x-6)^2-4\)、\(5\leq x\leq8\) とする。
- 最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
- 最大値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
放物線 \\(y^2=24x\\) を考える。
- 焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。（10点）
- 放物線上の点 \(P=(6,12)\) から焦点までの距離を求め、準線までの距離と等しいことを確かめなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
あるデータ \(x\) の平均は \(6\)、分散は4である。すべての値を \(y=3x+2\) に変換する。
- \(y\) の平均を求めなさい。（10点）
- \(y\) の分散と標準偏差を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
曲線 \(y=x^3\) 上の点 \(P=(6,216)\) を考える。
- 点 \(P\) における接線の傾きを求めなさい。（10点）
- この接線の方程式を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
\(\vec a=(6,1)\)、\(\vec b=(1,t)\) とする。
- \(\vec a\) と \(\vec b\) が垂直になる \(t\) を求めなさい。（10点）
- その \(t\) のとき \(|\vec a+\vec b|^2\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 定義域付き最大・最小
軸 \(x=6\) は定義域内にあるので、頂点で最小になる。最大は軸から遠い方の端点でとる。左端では \(f(5)=-3\)、右端では \(f(8)=0\) となる。
- 答え
\[ \boxed{x=6,\ \text{最小値}=-4} \] - 答え
\[ \boxed{x=8,\ \text{最大値}=0} \]
第2問 放物線の定義と焦点・準線
標準形 \\(y^2=4px\\) の \(p\) は \(6\)。焦点は \((6,0)\)、準線は \(x=-6\)。点 \(P\) から焦点までは縦方向の距離 \(12\)、準線までは横方向の距離 \(6-(-6)=12\) で一致する。
- 答え
\[ \boxed{\text{焦点}(6,0),\ \text{準線}\ x=-6} \] - 答え
\[ \boxed{\text{どちらも}\ 12} \]
第3問 一次変換による平均と分散の変化
平均は同じ一次変換を受ける。平均との差は \(y-\bar y=3(x-\bar x)\) となるため、分散は倍率の2乗で9倍になる。平行移動の2は分散に影響しない。標準偏差は分散の正の平方根。
- 答え
\[ \boxed{20} \] - 答え
\[ \boxed{V(y)=36,\ \text{標準偏差}=6} \]
第4問 微分係数と接線の方程式
導関数は \\(y'=3x^2\\) なので、接線の傾きは \(108\)。点と傾きから \(y-216=108(x-6)\) とおき、整理する。
- 答え
\[ \boxed{108} \] - 答え
\[ \boxed{y=108x-432} \]
第5問 内積と垂直条件
垂直条件は内積0なので \(6+t=0\)。そのとき \(\vec a+\vec b=(7,-5)\) だから長さの2乗は成分の平方和。または垂直性から \(|\vec a|^2+|\vec b|^2\) を使える。
- 答え
\[ \boxed{t=-6} \] - 答え
\[ \boxed{74} \]