大学受験数学 全国模試 第043回
この回のテストポイント
- 第1問：分母の有理化と共役な式（数と式）
- 第2問：楕円の焦点と交点（平面上の曲線）
- 第3問：二項分布の確率と期待値（確率分布）
- 第4問：三角関数の合成と最大値（三角関数）
- 第5問：等差×等比の和とずらして引く方法（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
\(a=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\)、\(b=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\) とする。
- \(a\) の分母を有理化しなさい。（10点）
- \\(a^2+b^2\\) を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
楕円 \\(\frac{x^2}{900}+\frac{y^2}{324}=1\\) を考える。
- 2つの焦点の座標を求めなさい。（10点）
- 直線 \(x=18\) と楕円の交点を求めなさい。（10点）
第3問 確率分布（20点）
成功確率 \(1/2\) の独立な試行を \(8\) 回行う。成功回数を \(X\) とする。
- \(X=1\) となる確率を求めなさい。（10点）
- \(X\) の期待値と分散を求めなさい。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(f(\theta)=6\sin\theta+6\cos\theta\)、\(0\leq\theta<2\pi\) とする。
- \(f(\theta)\) を \(R\sin(\theta+\alpha)\) の形で表しなさい。ただし \(R>0\)、\(0<\alpha<\pi/2\)。（10点）
- 最大値と、そのときの \(\theta\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
とする。
- \(2S-S\) を、同じ2の累乗の項どうしを引いて整理しなさい。（10点）
- \(S\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 分母の有理化と共役な式
分母・分子に共役な式を掛けると分母は \((7)-6=1\)。よって \(a=\sqrt{7}+\sqrt{6}\)、\(b=\sqrt{7}-\sqrt{6}\)。平方の和では根号を含む交差項が打ち消し合う。
- 答え
\[ \boxed{\sqrt{7}+\sqrt{6}} \] - 答え
\[ \boxed{26} \]
第2問 楕円の焦点と交点
長半径は \(a=30\)、短半径は \(b=18\)。焦点距離は \\(c=\sqrt{a^2-b^2}=24\\)。直線を代入すると \\(y^2/324=1-9/25=16/25\\)。
- 答え
\[ \boxed{(24,0),\ (-24,0)} \] - 答え
\[ \boxed{(18,\frac{72}{5}),\ (18,-\frac{72}{5})} \]
第3問 二項分布の確率と期待値
成功する1回の位置が \(8\) 通りあり、各並びの確率は \((1/2)^{8}\)。二項分布 \(B(n,p)\) の期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1}{32}} \] - 答え
\[ \boxed{E(X)=4,\ V(X)=2} \]
第4問 三角関数の合成と最大値
加法定理の係数を比べると \(R\cos\alpha=6\)、\(R\sin\alpha=6\)。よって \(R=6\sqrt2\)、\(\alpha=\pi/4\)。最大は \(\sin(\theta+\pi/4)=1\) のときである。
- 答え
\[ \boxed{6\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)} \] - 答え
\[ \boxed{\text{最大値}=6\sqrt2,\ \theta=\frac\pi4} \]
第5問 等差×等比の和とずらして引く方法
\(S/6=1+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot8\) と \(2S/6=2+2\cdot4+3\cdot8+4\cdot16\) をそろえて引くと、\(S/6=4\cdot16-(1+2+4+8)=49\)。
- 答え
\[ \boxed{2S-S=6\left(4\cdot2^4-(1+2+2^2+2^3)\right)} \] - 答え
\[ \boxed{294} \]