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大学受験数学 全国模試 第042回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　集合と命題（20点）

全体集合を \(U=\{1,2,\ldots,12\}\) とし、\(A=\{x\in U\mid x\leq9\}\)、\(B=\{x\in U\mid 6\leq x\leq7\}\) とする。

  1. 集合 \(A\cap\overline{B}\) の要素の個数を求めなさい。（10点）
  2. 条件「\(x\in A\)」は条件「\(x\in B\)」の必要条件・十分条件・必要十分条件・いずれでもない、のどれか答えなさい。（10点）

第2問　図形と方程式（20点）

点 \(A=(-6,0)\)、\(B=(6,0)\) から等距離にある点 \(P=(x,y)\) を考える。

  1. \(P\) の軌跡の方程式を求めなさい。（10点）
  2. さらに \(PA=\sqrt{45}\) を満たす \(P\) の座標をすべて求めなさい。（10点）

第3問　確率（20点）

1から \(36\) までの整数から1つを等確率で選ぶ。事象Aを「2の倍数」、Bを「3の倍数」とする。

  1. \(P(A),P(B),P(A\cap B)\) を求めなさい。（10点）
  2. AとBは独立か。また、排反か。理由も書きなさい。（10点）

第4問　三角関数（20点）

\(\theta\) の範囲を \(12\pi\leq\theta<14\pi\) とする。

  1. この範囲で \(\cos2\theta=0\) を満たす \(\theta\) をすべて求めなさい。（10点）
  2. 第1小問の解のうち、\(\sin\theta>0\) となるものをすべて選びなさい。（10点）

第5問　数列（20点）

\(a_1=7\)、\(a_{n+1}=2a_n-6\) とする。

  1. \(b_n=a_n-k\) とおく理由を説明し、\(b_n\) の一般項を求めなさい。（10点）
  2. \(a_5\) を求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　集合の包含関係と必要十分条件

\(B\subset A\) で、\(B\) の要素は2個。\(A\cap\overline B\) は \(A\) からこの2個を除いた集合である。\(x\in B\Rightarrow x\in A\) は成り立つが、例えば \(x=1\) では逆が成り立たない。

  1. 答え
    \[ \boxed{7} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\text{必要条件}} \]

第2問　等距離条件から軌跡を導く

\(PA^2=PB^2\) を展開すると \((x+6)^2+y^2=(x-6)^2+y^2\) から \(24x=0\)。軌跡は垂直二等分線である。\(x=0\) を追加条件に代入すると \\(y^2=9\\)。

  1. 答え
    \[ \boxed{x=0} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{(0,3),\ (0,-3)} \]

第3問　独立と排反を区別する

2の倍数は \(18\) 個、3の倍数は \(12\) 個、両方に属する6の倍数は \(6\) 個。\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) なので独立。一方、共通する事象の確率が0でないので排反ではない。

  1. 答え
    \[ \boxed{P(A)=\frac12,\ P(B)=\frac13,\ P(A\cap B)=\frac16} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\text{独立であり、排反ではない}} \]

第4問　倍角公式と区間内の解

\(\phi=\theta-12\pi\) とおけば \(0\leq\phi<2\pi\)。\(2\phi\) の範囲は \(0\leq2\phi<4\pi\) で、余弦が0になる位置を4つ拾う。正弦が正になるのは \(0<\phi<\pi\) である。

  1. 答え
    \[ \boxed{\theta=\frac{49\pi}{4},\frac{51\pi}{4},\frac{53\pi}{4},\frac{55\pi}{4}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\theta=\frac{49\pi}{4},\frac{51\pi}{4}} \]

第5問　漸化式の固定点と等比数列への変換

定数解 \(a_n=6\) を引くことで \(b_{n+1}=2b_n\)、\(b_1=1\) となる。この等比数列から \(b_n=2^{n-1}\)、\(a_n=6+2^{n-1}\)。

  1. 答え
    \[ \boxed{b_n=2^{n-1}\quad\text{固定点を引くと定数項が消える}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{22} \]