大学受験数学 全国模試 第041回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値の範囲と共通部分（数と式）
- 第2問：内分点と点・直線の距離（図形と方程式）
- 第3問：表から条件付きの母集団を選ぶ（条件付き確率）
- 第4問：真数条件と対数方程式（対数関数）
- 第5問：階差数列と平方数の和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 数と式（20点）
実数 \(x\) について、\(|x-6|\leq3\) を考える。
- この不等式の解を求めなさい。（10点）
- さらに \(x>7\) を満たす整数 \(x\) をすべて求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
\(A=(0,0)\)、\(B=(18,0)\)、\(C=(0,4)\) とする。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(P\) の座標を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) と直線 \(BC\) の距離を求めなさい。（10点）
第3問 条件付き確率（20点）
ある集団の検査結果は次の通りである。全員から1人を無作為に選ぶ。
| 区分 | 陽性 | 陰性 |
|---|---|---|
| 疾患あり | 12 | 12 |
| 疾患なし | 6 | 30 |
- 陽性だったという条件の下で、疾患ありである確率を求めなさい。（10点）
- 疾患ありという条件の下で、陽性である確率を求めなさい。（10点）
第4問 対数関数（20点）
\(\log_2(x-6)+\log_2(x-7)=1\) を考える。
- 真数条件から \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 方程式の解を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=6\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) とする。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第5項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 絶対値の範囲と共通部分
絶対値は数直線上の距離なので、\(-3\leq x-6\leq3\)。第2小問ではこの区間と \(x>7\) の共通部分をとる。端点の等号の有無に注意する。
- 答え
\[ \boxed{3\leq x\leq9} \] - 答え
\[ \boxed{x=8,\ 9} \]
第2問 内分点と点・直線の距離
内分公式より \(P=(6,0)\)。直線 \(BC\) は \(4x+18y-72=0\) である。点と直線の距離の公式 \\(|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}\\) に代入する。
- 答え
\[ \boxed{(6,0)} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{24}{85}\sqrt{85}} \]
第3問 表から条件付きの母集団を選ぶ
第1小問の条件は陽性なので分母は陽性者 \(18\) 人。第2小問の条件は疾患ありなので分母は疾患のある \(24\) 人。どちらも該当するのは \(12\) 人だが、条件ごとに分母を選び直す必要がある。
- 答え
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]
第4問 真数条件と対数方程式
両真数が正である条件は \(x>7\)。対数の和を積にまとめると \((x-6)(x-7)=2\)。\(u=x-6\) とおけば \(u(u-1)=2\) より \(u=2,-1\)。真数条件を満たす方だけを採用する。
- 答え
\[ \boxed{x>7} \] - 答え
\[ \boxed{x=8} \]
第5問 階差数列と平方数の和
\(n\geq2\) では \(a_n=a_1+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=6+n^2-1\)。この式は \(n=1\) でも成り立つ。第5項までの和は \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+5(6-1)\)。
- 答え
\[ \boxed{a_n=n^2+5} \] - 答え
\[ \boxed{80} \]