大学受験数学 全国模試 第040回
この回のテストポイント
- 第1問：一次不等式のモデル化と整数条件（数と式）
- 第2問：円の接線と方べき（図形の性質）
- 第3問：片側検定の棄却域と結論（統計的な推測）
- 第4問：2曲線間の面積と上下関係（積分）
- 第5問：空間の内積と直線上の垂足（空間ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
施設Aの料金は基本料 \(500\) 円と1時間ごとに200円、施設Bは基本料0円と1時間ごとに300円である。利用時間を正の整数 \(n\) 時間とする。
- AがBより安くなる \(n\) の条件を求めなさい。（10点）
- AがBより安くなる最短の利用時間と、そのときのAの料金を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
円の外部の点 \(P\) から引いた割線が円と近い順に \(A,B\) で交わり、\(PA=5\)、\(PB=20\) とする。\(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\) とする。
- 接線の長さ \(PT\) を求めなさい。（10点）
- 同じ点 \(P\) を通る別の割線の交点を近い順に \(C,D\) とし、\(PC=2\) のとき \(PD\) を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
製品の平均重量が \(105\) gより小さくなったか調べる。母標準偏差は既知で6 g、母集団は正規分布とする。36個の独立な標本の平均は \(103\) gだった。帰無仮説は \(\mu=105\)、対立仮説は \(\mu<105\)。有意水準5%の下側片側検定の棄却域は \(Z<-1.645\) とする。
- 検定統計量 \(Z\) を求めなさい。（10点）
- 帰無仮説を棄却するか。平均重量について、この検定から言えることを書きなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=5x\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 2曲線で囲まれる部分の面積を求めなさい。（10点）
第5問 空間ベクトル（20点）
空間で \(O=(0,0,0)\)、\(A=(1,2,2)\)、\(P=(5,0,0)\) とする。点 \(P\) から直線 \(OA\) への垂足を \(H\) とする。
- \(H=t(1,2,2)\) とおき、\(t\) を求めなさい。（10点）
- 距離 \(PH\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 一次不等式のモデル化と整数条件
料金はAが \(500+200n\)、Bが \(300n\) なので、比較すると \(100n>500\)。時間は整数だから、最小の \(n\) は境界より1大きい。
- 答え
\[ \boxed{n>5} \] - 答え
\[ \boxed{6\ \text{時間},\ 1700\ \text{円}} \]
第2問 円の接線と方べき
方べきの定理より \(PT^2=PA\cdot PB=100\)。別の割線でも \(PC\cdot PD=100\) である。長さは正なので平方根の正の値をとる。
- 答え
\[ \boxed{10} \] - 答え
\[ \boxed{50} \]
第3問 片側検定の棄却域と結論
帰無仮説の下で標本平均の標準偏差は \(6/\sqrt{36}=1\)。したがって \(Z=(103-105)/1=-2\)。これは棄却域に入るので、有意水準5%で平均が基準値より小さくなったと判断する。
- 答え
\[ \boxed{-2} \] - 答え
\[ \boxed{\text{棄却する。平均重量が基準値より小さいと判断する}} \]
第4問 2曲線間の面積と上下関係
\\(x^2=5x\\) より交点は \(x=0,5\)。その間では直線が上にあるので、面積は
。
- 答え
\[ \boxed{x=0,\ 5} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{125}{6}} \]
第5問 空間の内積と直線上の垂足
より \(5-9t=0\)。垂直な分解から \(PH^2=OP^2-OH^2=25-25/9\)。
- 答え
\[ \boxed{t=\frac{5}{9}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{10\sqrt2}{3}} \]