大学受験数学 全国模試 第039回

この回のテストポイント

• 第1問：条件の式化と面積の最適化（二次関数の活用）
• 第2問：角の二等分線と辺の比（図形の性質）
• 第3問：母平均の信頼区間と標本数（統計的な推測）
• 第4問：積分定数と初期条件（積分）
• 第5問：内分ベクトルと面積比（ベクトル）

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　二次関数の活用（20点）

長方形の周の長さは \(20\) cmである。一辺を \(x\) cmとし、\(0<x<10\) とする。

1. 面積 \(S\) を \(x\) の式で表しなさい。（10点）
2. 面積の最大値と、そのときの辺の長さを求めなさい。（10点）

第2問　図形の性質（20点）

三角形 \(ABC\) で \(AB=10\)、\(AC=15\)、\(BC=20\) とする。\(\angle A\) の内角の二等分線と \(BC\) の交点を \(D\) とする。

1. \(BD\) と \(DC\) を求めなさい。（10点）
2. 三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) の面積の比を求めなさい。（10点）

第3問　統計的な推測（20点）

母標準偏差10の正規母集団から100個の独立な標本をとったところ、標本平均は \(55\) だった。母標準偏差は既知とし、95%信頼区間の式 \(\overline x\pm1.96\sigma/\sqrt n\) を用いる。

1. 母平均の95%信頼区間を求めなさい。（10点）
2. 同じ母標準偏差で区間の幅を半分にしたい。必要な標本数を求めなさい。（10点）

第4問　積分（20点）

多項式 \(F(x)\) は \(F'(x)=3x^2-10x\)、\(F(0)=5\) を満たす。

1. \(F(x)\) を求めなさい。（10点）
2. \(\int_0^5\(3x^2-10x\)\,dx\) を求めなさい。（10点）

第5問　ベクトル（20点）

三角形 \(OAB\) で \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)。\(AB\) を \(AP:PB=1:5\) に内分する点を \(P\) とする。

1. \(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec a,\vec b\) で表しなさい。（10点）
2. 三角形 \(OAP\) の面積は三角形 \(OAB\) の面積の何倍か求めなさい。（10点）