大学受験数学 全国模試 第038回
この回のテストポイント
- 第1問：交点と上下関係（二次関数）
- 第2問：余弦定理から角と面積を決定（三角比）
- 第3問：標本平均の分布と標準化（統計的な推測）
- 第4問：導関数の符号と極値（微分）
- 第5問：内積と垂直条件（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=10x+11\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 放物線が直線より下にある \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=AC=5\)、\(BC=5\sqrt{3}\) とする。
- \(\angle A\) を求めなさい。（10点）
- 三角形の面積を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母平均 \(5\)、母標準偏差4の正規母集団から、独立に16個を抽出し、標本平均を \(\overline X\) とする。標準正規変数 \(Z\) について \(P(-1\leq Z\leq1)=0.6826\) を使ってよい。
- \(\overline X\) の期待値と標準偏差を求めなさい。（10点）
- \(P(4\leq\overline X\leq6)\) を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
\(f(x)=x^3-15x^2\) とする。
- 増加する区間と減少する区間を求めなさい。（10点）
- 極大値と極小値を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
\(\vec a=(5,1)\)、\(\vec b=(1,t)\) とする。
- \(\vec a\) と \(\vec b\) が垂直になる \(t\) を求めなさい。（10点）
- その \(t\) のとき \(|\vec a+\vec b|^2\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 交点と上下関係
交点の条件を整理すると \(x^2-10x-11=(x+1)(x-11)=0\)。下にある条件はこの積が負になることであり、2つの根の間となる。
- 答え
\[ \boxed{x=-1,\ 11} \] - 答え
\[ \boxed{-1<x<11} \]
第2問 余弦定理から角と面積を決定
余弦定理で \(75=25+25-50\cos A\) より \(\cos A=-1/2\)。三角形の内角なので \(A=120^\circ\)。面積は \(\frac12 AB\cdot AC\sin A\) で求める。
- 答え
\[ \boxed{120^\circ} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{25}{4}\sqrt{3}} \]
第3問 標本平均の分布と標準化
標本平均の期待値は母平均、標準偏差は \(\sigma/\sqrt n=4/4=1\)。\(Z=(\overline X-5)/1\) と標準化すると、指定区間は \(-1\leq Z\leq1\) に対応する。
- 答え
\[ \boxed{E(\overline X)=5,\ \text{標準偏差}=1} \] - 答え
\[ \boxed{0.6826} \]
第4問 導関数の符号と極値
\(f'(x)=3x(x-10)\)。導関数は \(x<0\)、\(x>10\) で正、\(0<x<10\) で負。符号が正から負に変わる \(x=0\) で極大、負から正に変わる \(x=10\) で極小となる。
- 答え
\[ \boxed{\text{増加}:x<0,\ x>10;\ \text{減少}:0<x<10} \] - 答え
\[ \boxed{\text{極大値}=0,\ \text{極小値}=-500} \]
第5問 内積と垂直条件
垂直条件は内積0なので \(5+t=0\)。そのとき \(\vec a+\vec b=(6,-4)\) だから長さの2乗は成分の平方和。または垂直性から \(|\vec a|^2+|\vec b|^2\) を使える。
- 答え
\[ \boxed{t=-5} \] - 答え
\[ \boxed{52} \]