大学受験数学 全国模試 第037回
この回のテストポイント
- 第1問：積の符号と整数解（二次不等式）
- 第2問：正弦定理と外接円（三角比）
- 第3問：四分位数と外れ値の判定（データの分析）
- 第4問：微分係数と接線の方程式（微分）
- 第5問：等差×等比の和とずらして引く方法（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次不等式（20点）
\((x-5)(x-9)>0\) を考える。
- 不等式の解を求めなさい。（10点）
- \(0\leq x\leq11\) の整数のうち、この不等式を満たすものの個数を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(\angle A=30^\circ\)、\(\angle B=45^\circ\)、\(BC=5\) とする。
- 外接円の半径 \(R\) を求めなさい。（10点）
- 辺 \(CA\) の長さを求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
小さい順に並べた8個のデータは 3、4、5、6、7、8、9、10 である。四分位数は上下各4個の中央値を使う。外れ値は \(Q_1-1.5IQR\) 未満、または \(Q_3+1.5IQR\) より大きい値とする。
- 第1四分位数 \(Q_1\)、第3四分位数 \(Q_3\)、四分位範囲 \(IQR\) を求めなさい。（10点）
- この基準で、新しい観測値 \(15\) は外れ値か判定しなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
曲線 \(y=x^3\) 上の点 \(P=(5,125)\) を考える。
- 点 \(P\) における接線の傾きを求めなさい。（10点）
- この接線の方程式を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
とする。
- \(2S-S\) を、同じ2の累乗の項どうしを引いて整理しなさい。（10点）
- \(S\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 積の符号と整数解
積が正になるのは2つの零点の外側である。指定された整数では \(0,\ldots,4\) の \(5\) 個と、\(10,11\) の2個を数える。零点は含めない。
- 答え
\[ \boxed{x<5\ \text{または}\ x>9} \] - 答え
\[ \boxed{7} \]
第2問 正弦定理と外接円
正弦定理より \(BC/\sin A=2R\)。\(\sin30^\circ=1/2\) なので \(R=5\)。さらに \(CA=2R\sin45^\circ\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{5} \] - 答え
\[ \boxed{5\sqrt{2}} \]
第3問 四分位数と外れ値の判定
下半分の中央2値の平均は \((4+5)/2\)、上半分は \((8+9)/2\)。その差は4である。上側の境界は \(\frac{17}{2}+6=\frac{29}{2}\)。新しい値はこの境界より大きい。
- 答え
\[ \boxed{Q_1=\frac{9}{2},\ Q_3=\frac{17}{2},\ IQR=4} \] - 答え
\[ \boxed{\text{外れ値である}} \]
第4問 微分係数と接線の方程式
導関数は \\(y'=3x^2\\) なので、接線の傾きは \(75\)。点と傾きから \(y-125=75(x-5)\) とおき、整理する。
- 答え
\[ \boxed{75} \] - 答え
\[ \boxed{y=75x-250} \]
第5問 等差×等比の和とずらして引く方法
\(S/5=1+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot8\) と \(2S/5=2+2\cdot4+3\cdot8+4\cdot16\) をそろえて引くと、\(S/5=4\cdot16-(1+2+4+8)=49\)。
- 答え
\[ \boxed{2S-S=5\left(4\cdot2^4-(1+2+2^2+2^3)\right)} \] - 答え
\[ \boxed{245} \]