大学受験数学 全国模試 第036回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係による対称式（二次方程式）
- 第2問：空間図形の高さと体積（三角比）
- 第3問：一次変換による平均と分散の変化（データの分析）
- 第4問：三角関数の合成と最大値（三角関数）
- 第5問：漸化式の固定点と等比数列への変換（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
\\(x^2-8x+10=0\\) の2つの解を \(\alpha,\beta\) とする。
- 解を直接求めずに \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
- \(\frac1\alpha+\frac1\beta\) を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
正四角錐の底面の一辺は \(10\)、頂点から底面の各頂点までの辺は \(5\sqrt{3}\) である。
- 四角錐の高さを求めなさい。（10点）
- 四角錐の体積を求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
あるデータ \(x\) の平均は \(5\)、分散は4である。すべての値を \(y=3x+2\) に変換する。
- \(y\) の平均を求めなさい。（10点）
- \(y\) の分散と標準偏差を求めなさい。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(f(\theta)=5\sin\theta+5\cos\theta\)、\(0\leq\theta<2\pi\) とする。
- \(f(\theta)\) を \(R\sin(\theta+\alpha)\) の形で表しなさい。ただし \(R>0\)、\(0<\alpha<\pi/2\)。（10点）
- 最大値と、そのときの \(\theta\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=6\)、\(a_{n+1}=2a_n-5\) とする。
- \(b_n=a_n-k\) とおく理由を説明し、\(b_n\) の一般項を求めなさい。（10点）
- \(a_5\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係による対称式
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=8\)、\(\alpha\beta=10\)。平方の和は \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)、逆数の和は \((\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\) で求まる。積が0でないことも確認する。
- 答え
\[ \boxed{44} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{4}{5}} \]
第2問 空間図形の高さと体積
頂点の真下は正方形の中心。中心から底面の頂点までの距離は半対角線 \(5\sqrt{2}\) である。高さ \(h\) に対して \(h^2=75-50=25\)。体積は底面積×高さ÷3。
- 答え
\[ \boxed{5} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{500}{3}} \]
第3問 一次変換による平均と分散の変化
平均は同じ一次変換を受ける。平均との差は \(y-\bar y=3(x-\bar x)\) となるため、分散は倍率の2乗で9倍になる。平行移動の2は分散に影響しない。標準偏差は分散の正の平方根。
- 答え
\[ \boxed{17} \] - 答え
\[ \boxed{V(y)=36,\ \text{標準偏差}=6} \]
第4問 三角関数の合成と最大値
加法定理の係数を比べると \(R\cos\alpha=5\)、\(R\sin\alpha=5\)。よって \(R=5\sqrt2\)、\(\alpha=\pi/4\)。最大は \(\sin(\theta+\pi/4)=1\) のときである。
- 答え
\[ \boxed{5\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)} \] - 答え
\[ \boxed{\text{最大値}=5\sqrt2,\ \theta=\frac\pi4} \]
第5問 漸化式の固定点と等比数列への変換
定数解 \(a_n=5\) を引くことで \(b_{n+1}=2b_n\)、\(b_1=1\) となる。この等比数列から \(b_n=2^{n-1}\)、\(a_n=5+2^{n-1}\)。
- 答え
\[ \boxed{b_n=2^{n-1}\quad\text{固定点を引くと定数項が消える}} \] - 答え
\[ \boxed{21} \]