大学受験数学 全国模試 第035回
この回のテストポイント
- 第1問：判別式による実数解の分類（二次方程式）
- 第2問：放物線の定義と焦点・準線（平面上の曲線）
- 第3問：二項分布の確率と期待値（確率分布）
- 第4問：倍角公式と区間内の解（三角関数）
- 第5問：階差数列と平方数の和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
実数 \(t\) に対して \\(x^2-10x+t=0\\) を考える。
- 異なる2つの実数解をもつ \(t\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 重解をもつときの \(t\) と、その重解を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
放物線 \\(y^2=20x\\) を考える。
- 焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。（10点）
- 放物線上の点 \(P=(5,10)\) から焦点までの距離を求め、準線までの距離と等しいことを確かめなさい。（10点）
第3問 確率分布（20点）
成功確率 \(1/2\) の独立な試行を \(7\) 回行う。成功回数を \(X\) とする。
- \(X=1\) となる確率を求めなさい。（10点）
- \(X\) の期待値と分散を求めなさい。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(\theta\) の範囲を \(10\pi\leq\theta<12\pi\) とする。
- この範囲で \(\cos2\theta=0\) を満たす \(\theta\) をすべて求めなさい。（10点）
- 第1小問の解のうち、\(\sin\theta>0\) となるものをすべて選びなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=5\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) とする。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第5項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 判別式による実数解の分類
判別式は \(D=(-10)^2-4t=4(25-t)\)。異なる2実根の条件は \(D>0\)、重解の条件は \(D=0\) である。重解は軸の位置 \(x=5\) に一致する。
- 答え
\[ \boxed{t<25} \] - 答え
\[ \boxed{t=25,\ x=5} \]
第2問 放物線の定義と焦点・準線
標準形 \\(y^2=4px\\) の \(p\) は \(5\)。焦点は \((5,0)\)、準線は \(x=-5\)。点 \(P\) から焦点までは縦方向の距離 \(10\)、準線までは横方向の距離 \(5-(-5)=10\) で一致する。
- 答え
\[ \boxed{\text{焦点}(5,0),\ \text{準線}\ x=-5} \] - 答え
\[ \boxed{\text{どちらも}\ 10} \]
第3問 二項分布の確率と期待値
成功する1回の位置が \(7\) 通りあり、各並びの確率は \((1/2)^{7}\)。二項分布 \(B(n,p)\) の期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{\frac{7}{128}} \] - 答え
\[ \boxed{E(X)=\frac{7}{2},\ V(X)=\frac{7}{4}} \]
第4問 倍角公式と区間内の解
\(\phi=\theta-10\pi\) とおけば \(0\leq\phi<2\pi\)。\(2\phi\) の範囲は \(0\leq2\phi<4\pi\) で、余弦が0になる位置を4つ拾う。正弦が正になるのは \(0<\phi<\pi\) である。
- 答え
\[ \boxed{\theta=\frac{41\pi}{4},\frac{43\pi}{4},\frac{45\pi}{4},\frac{47\pi}{4}} \] - 答え
\[ \boxed{\theta=\frac{41\pi}{4},\frac{43\pi}{4}} \]
第5問 階差数列と平方数の和
\(n\geq2\) では \(a_n=a_1+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=5+n^2-1\)。この式は \(n=1\) でも成り立つ。第5項までの和は \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+5(5-1)\)。
- 答え
\[ \boxed{a_n=n^2+4} \] - 答え
\[ \boxed{75} \]