大学受験数学 全国模試 第034回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域付き最大・最小（二次関数）
- 第2問：楕円の焦点と交点（平面上の曲線）
- 第3問：独立と排反を区別する（確率）
- 第4問：真数条件と対数方程式（対数関数）
- 第5問：等比数列の和から項数を逆算（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
\(f(x)=(x-5)^2-4\)、\(4\leq x\leq7\) とする。
- 最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
- 最大値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
楕円 \\(\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{225}=1\\) を考える。
- 2つの焦点の座標を求めなさい。（10点）
- 直線 \(x=15\) と楕円の交点を求めなさい。（10点）
第3問 確率（20点）
1から \(30\) までの整数から1つを等確率で選ぶ。事象Aを「2の倍数」、Bを「3の倍数」とする。
- \(P(A),P(B),P(A\cap B)\) を求めなさい。（10点）
- AとBは独立か。また、排反か。理由も書きなさい。（10点）
第4問 対数関数（20点）
\(\log_2(x-5)+\log_2(x-6)=1\) を考える。
- 真数条件から \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 方程式の解を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
初項 \(5\)、公比2の等比数列を \(\{a_n\}\) とする。
- 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。（10点）
- \(S_n=155\) となる \(n\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 定義域付き最大・最小
軸 \(x=5\) は定義域内にあるので、頂点で最小になる。最大は軸から遠い方の端点でとる。左端では \(f(4)=-3\)、右端では \(f(7)=0\) となる。
- 答え
\[ \boxed{x=5,\ \text{最小値}=-4} \] - 答え
\[ \boxed{x=7,\ \text{最大値}=0} \]
第2問 楕円の焦点と交点
長半径は \(a=25\)、短半径は \(b=15\)。焦点距離は \\(c=\sqrt{a^2-b^2}=20\\)。直線を代入すると \\(y^2/225=1-9/25=16/25\\)。
- 答え
\[ \boxed{(20,0),\ (-20,0)} \] - 答え
\[ \boxed{(15,12),\ (15,-12)} \]
第3問 独立と排反を区別する
2の倍数は \(15\) 個、3の倍数は \(10\) 個、両方に属する6の倍数は \(5\) 個。\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) なので独立。一方、共通する事象の確率が0でないので排反ではない。
- 答え
\[ \boxed{P(A)=\frac12,\ P(B)=\frac13,\ P(A\cap B)=\frac16} \] - 答え
\[ \boxed{\text{独立であり、排反ではない}} \]
第4問 真数条件と対数方程式
両真数が正である条件は \(x>6\)。対数の和を積にまとめると \((x-5)(x-6)=2\)。\(u=x-5\) とおけば \(u(u-1)=2\) より \(u=2,-1\)。真数条件を満たす方だけを採用する。
- 答え
\[ \boxed{x>6} \] - 答え
\[ \boxed{x=7} \]
第5問 等比数列の和から項数を逆算
等比数列の和より \(S_n=5(2^n-1)/(2-1)\)。指定された和から \(2^n-1=31\)、つまり \(2^n=32\) を解く。
- 答え
\[ \boxed{S_n=5(2^n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{n=5} \]