大学受験数学 全国模試 第033回
この回のテストポイント
- 第1問：分母の有理化と共役な式（数と式）
- 第2問：等距離条件から軌跡を導く（図形と方程式）
- 第3問：表から条件付きの母集団を選ぶ（条件付き確率）
- 第4問：置換による指数方程式（指数関数）
- 第5問：等差数列の条件から一般項と和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 数と式（20点）
\(a=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\)、\(b=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}\) とする。
- \(a\) の分母を有理化しなさい。（10点）
- \\(a^2+b^2\\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
点 \(A=(-5,0)\)、\(B=(5,0)\) から等距離にある点 \(P=(x,y)\) を考える。
- \(P\) の軌跡の方程式を求めなさい。（10点）
- さらに \(PA=\sqrt{34}\) を満たす \(P\) の座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 条件付き確率（20点）
ある集団の検査結果は次の通りである。全員から1人を無作為に選ぶ。
| 区分 | 陽性 | 陰性 |
|---|---|---|
| 疾患あり | 10 | 10 |
| 疾患なし | 5 | 25 |
- 陽性だったという条件の下で、疾患ありである確率を求めなさい。（10点）
- 疾患ありという条件の下で、陽性である確率を求めなさい。（10点）
第4問 指数関数（20点）
\(4^x-(32+2)2^x+64=0\) を考える。
- \(t=2^x\) とおいて、\(t\) の値をすべて求めなさい。（10点）
- \(x\) の値をすべて求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
等差数列 \(\{a_n\}\) は \(a_3=9\)、\(a_7=17\) を満たす。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第10項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 分母の有理化と共役な式
分母・分子に共役な式を掛けると分母は \((6)-5=1\)。よって \(a=\sqrt{6}+\sqrt{5}\)、\(b=\sqrt{6}-\sqrt{5}\)。平方の和では根号を含む交差項が打ち消し合う。
- 答え
\[ \boxed{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \] - 答え
\[ \boxed{22} \]
第2問 等距離条件から軌跡を導く
\(PA^2=PB^2\) を展開すると \((x+5)^2+y^2=(x-5)^2+y^2\) から \(20x=0\)。軌跡は垂直二等分線である。\(x=0\) を追加条件に代入すると \\(y^2=9\\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0} \] - 答え
\[ \boxed{(0,3),\ (0,-3)} \]
第3問 表から条件付きの母集団を選ぶ
第1小問の条件は陽性なので分母は陽性者 \(15\) 人。第2小問の条件は疾患ありなので分母は疾患のある \(20\) 人。どちらも該当するのは \(10\) 人だが、条件ごとに分母を選び直す必要がある。
- 答え
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]
第4問 置換による指数方程式
\(t>0\) に注意し、\(t^2-(32+2)t+64=(t-2)(t-32)\) と因数分解する。2つの根はいずれも正。\(2^x=2\) または \(2^x=2^5\) に戻す。
- 答え
\[ \boxed{t=2,\ 32} \] - 答え
\[ \boxed{x=1,\ 5} \]
第5問 等差数列の条件から一般項と和
第3項から第7項へ4回公差を加えるので、公差は \((17-9)/4=2\)。初項は \(a_3-4=5\)。和は項数×（初項＋末項）÷2で求める。
- 答え
\[ \boxed{a_n=5+2(n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{140} \]