大学受験数学 全国模試 第032回
この回のテストポイント
- 第1問：集合の包含関係と必要十分条件（集合と命題）
- 第2問：内分点と点・直線の距離（図形と方程式）
- 第3問：組合せによる委員選出（場合の数・確率）
- 第4問：負の判別式と共役な解（複素数と方程式）
- 第5問：絶対値の軌跡と円の位置（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 集合と命題（20点）
全体集合を \(U=\{1,2,\ldots,11\}\) とし、\(A=\{x\in U\mid x\leq8\}\)、\(B=\{x\in U\mid 5\leq x\leq6\}\) とする。
- 集合 \(A\cap\overline{B}\) の要素の個数を求めなさい。（10点）
- 条件「\(x\in A\)」は条件「\(x\in B\)」の必要条件・十分条件・必要十分条件・いずれでもない、のどれか答えなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
\(A=(0,0)\)、\(B=(15,0)\)、\(C=(0,4)\) とする。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(P\) の座標を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) と直線 \(BC\) の距離を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数・確率（20点）
男子 \(7\) 人、女子3人から、3人の委員を選ぶ。各3人の組は同じ確率で選ばれる。
- 男子2人、女子1人となる選び方は何通りか。（10点）
- 男子2人、女子1人となる確率を求めなさい。（10点）
第4問 複素数と方程式（20点）
\\(x^2-10x+29=0\\) を複素数の範囲で解く。虚数単位を \(i\) とする。
- 2つの解を求めなさい。（10点）
- その2解を \(\alpha,\beta\) として、\(\alpha\beta\) と \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数 \(z\) は \(|z-(5+2i)|=3\) を満たす。
- この軌跡の中心を表す複素数と半径を答えなさい。（10点）
- この軌跡と直線 \(\operatorname{Re}(z)=k\) との交点を表す複素数をすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 集合の包含関係と必要十分条件
\(B\subset A\) で、\(B\) の要素は2個。\(A\cap\overline B\) は \(A\) からこの2個を除いた集合である。\(x\in B\Rightarrow x\in A\) は成り立つが、例えば \(x=1\) では逆が成り立たない。
- 答え
\[ \boxed{6} \] - 答え
\[ \boxed{\text{必要条件}} \]
第2問 内分点と点・直線の距離
内分公式より \(P=(5,0)\)。直線 \(BC\) は \(4x+15y-60=0\) である。点と直線の距離の公式 \\(|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}\\) に代入する。
- 答え
\[ \boxed{(5,0)} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{40}{241}\sqrt{241}} \]
第3問 組合せによる委員選出
順序を区別しないので組合せを使う。男子2人を \(\binom{7}{2}\) 通り、女子1人を3通りで選び、掛け合わせる。全体は \(\binom{10}{3}=120\) 通り。
- 答え
\[ \boxed{63} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{21}{40}} \]
第4問 負の判別式と共役な解
平方完成すると \((x-5)^2=-4\) なので、解は共役な複素数 \(5\pm2i\)。和は \(10\)、積は \(29\)。平方の和は和の2乗から積の2倍を引いて求める。
- 答え
\[ \boxed{x=5\pm2i} \] - 答え
\[ \boxed{\alpha\beta=29,\ \alpha^2+\beta^2=42} \]
第5問 絶対値の軌跡と円の位置
絶対値は複素数平面上の距離なので中心は \(5+2i\)、半径は3。\(z=5+yi\) を代入すると \(|(y-2)i|=3\)、すなわち \(y=5,-1\)。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}=5+2i,\ \text{半径}=3} \] - 答え
\[ \boxed{z=5+5i,\ 5-i} \]