大学受験数学 全国模試 第031回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値の範囲と共通部分（数と式）
- 第2問：円の方程式と接線（図形と方程式）
- 第3問：順列の隣接条件と余事象（場合の数）
- 第4問：剰余の定理と係数決定（式と証明）
- 第5問：複素数の乗法による回転（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
実数 \(x\) について、\(|x-5|\leq3\) を考える。
- この不等式の解を求めなさい。（10点）
- さらに \(x>6\) を満たす整数 \(x\) をすべて求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
円 \((x-5)^2+(y-2)^2=25\) と、その上の点 \(P=(8,6)\) を考える。
- 円の中心と半径を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) における接線の方程式を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数（20点）
A、Bを含む互いに異なる \(8\) 人が一列に並ぶ。階乗 \(n!\) を用いて答えてよい。
- AとBが隣り合う並び方は何通りか。（10点）
- AとBが隣り合わない並び方は何通りか。（10点）
第4問 式と証明（20点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) を \(x-1\) で割った余りは \(5\)、\(x+1\) で割った余りは \(7\) である。
- 係数 \(a,b\) を求めなさい。（10点）
- \(P(x)\) を \(x-2\) で割った余りを求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数平面上の点Aは \(z=5+i\) を表す。原点を中心に反時計回りに \(90^\circ\) 回転した点をBとする。
- Bを表す複素数 \(w\) を求めなさい。（10点）
- 線分ABの長さの2乗を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 絶対値の範囲と共通部分
絶対値は数直線上の距離なので、\(-3\leq x-5\leq3\)。第2小問ではこの区間と \(x>6\) の共通部分をとる。端点の等号の有無に注意する。
- 答え
\[ \boxed{2\leq x\leq8} \] - 答え
\[ \boxed{x=7,\ 8} \]
第2問 円の方程式と接線
標準形から中心は \((5,2)\)、半径は5。半径の方向は \((3,4)\) なので接線の法線ベクトルも \((3,4)\)。\(3(x-8)+4(y-6)=0\) を整理する。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}(5,2),\ \text{半径}5} \] - 答え
\[ \boxed{3x+4y=48} \]
第3問 順列の隣接条件と余事象
AとBを1組とみると、組を含む \(7\) 個の並べ方は \(7!\) 通り。組内の順序は2通りである。隣り合わない並び方は全体 \(8!\) から隣り合う並び方を引く。
- 答え
\[ \boxed{2\cdot7!} \] - 答え
\[ \boxed{8!-2\cdot7!} \]
第4問 剰余の定理と係数決定
剰余の定理で \(P(1)=1+a+b=5\)、\(P(-1)=-1-a+b=7\)。連立すると \(a=-2,b=6\)。最後の余りは \(P(2)=8+2a+b\) である。
- 答え
\[ \boxed{a=-2,\ b=6} \] - 答え
\[ \boxed{10} \]
第5問 複素数の乗法による回転
反時計回りの \(90^\circ\) 回転は \(i\) を掛ける操作である。\(w=i(5+i)=-1+5i\)。\(w-z=(-6)+4i\) の絶対値の2乗は実部と虚部の平方和。
- 答え
\[ \boxed{w=-1+5i} \] - 答え
\[ \boxed{52} \]