大学受験数学 全国模試 第030回
この回のテストポイント
- 第1問：一次不等式のモデル化と整数条件（数と式）
- 第2問：角の二等分線と辺の比（図形の性質）
- 第3問：標本平均の分布と標準化（統計的な推測）
- 第4問：微分係数と接線の方程式（微分）
- 第5問：漸化式の固定点と等比数列への変換（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
施設Aの料金は基本料 \(400\) 円と1時間ごとに200円、施設Bは基本料0円と1時間ごとに300円である。利用時間を正の整数 \(n\) 時間とする。
- AがBより安くなる \(n\) の条件を求めなさい。（10点）
- AがBより安くなる最短の利用時間と、そのときのAの料金を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=8\)、\(AC=12\)、\(BC=16\) とする。\(\angle A\) の内角の二等分線と \(BC\) の交点を \(D\) とする。
- \(BD\) と \(DC\) を求めなさい。（10点）
- 三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) の面積の比を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母平均 \(4\)、母標準偏差4の正規母集団から、独立に16個を抽出し、標本平均を \(\overline X\) とする。標準正規変数 \(Z\) について \(P(-1\leq Z\leq1)=0.6826\) を使ってよい。
- \(\overline X\) の期待値と標準偏差を求めなさい。（10点）
- \(P(3\leq\overline X\leq5)\) を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
曲線 \(y=x^3\) 上の点 \(P=(4,64)\) を考える。
- 点 \(P\) における接線の傾きを求めなさい。（10点）
- この接線の方程式を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=5\)、\(a_{n+1}=2a_n-4\) とする。
- \(b_n=a_n-k\) とおく理由を説明し、\(b_n\) の一般項を求めなさい。（10点）
- \(a_5\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 一次不等式のモデル化と整数条件
料金はAが \(400+200n\)、Bが \(300n\) なので、比較すると \(100n>400\)。時間は整数だから、最小の \(n\) は境界より1大きい。
- 答え
\[ \boxed{n>4} \] - 答え
\[ \boxed{5\ \text{時間},\ 1400\ \text{円}} \]
第2問 角の二等分線と辺の比
角の二等分線の定理より \(BD:DC=AB:AC=2:3\)。辺全体を5等分して配分する。2つの三角形は直線 \(BC\) に対する高さが共通なので、面積比も底辺の比に一致する。
- 答え
\[ \boxed{BD=\frac{32}{5},\ DC=\frac{48}{5}} \] - 答え
\[ \boxed{2:3} \]
第3問 標本平均の分布と標準化
標本平均の期待値は母平均、標準偏差は \(\sigma/\sqrt n=4/4=1\)。\(Z=(\overline X-4)/1\) と標準化すると、指定区間は \(-1\leq Z\leq1\) に対応する。
- 答え
\[ \boxed{E(\overline X)=4,\ \text{標準偏差}=1} \] - 答え
\[ \boxed{0.6826} \]
第4問 微分係数と接線の方程式
導関数は \\(y'=3x^2\\) なので、接線の傾きは \(48\)。点と傾きから \(y-64=48(x-4)\) とおき、整理する。
- 答え
\[ \boxed{48} \] - 答え
\[ \boxed{y=48x-128} \]
第5問 漸化式の固定点と等比数列への変換
定数解 \(a_n=4\) を引くことで \(b_{n+1}=2b_n\)、\(b_1=1\) となる。この等比数列から \(b_n=2^{n-1}\)、\(a_n=4+2^{n-1}\)。
- 答え
\[ \boxed{b_n=2^{n-1}\quad\text{固定点を引くと定数項が消える}} \] - 答え
\[ \boxed{20} \]