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大学受験数学 全国模試 第029回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　二次関数の活用（20点）

長方形の周の長さは \(16\) cmである。一辺を \(x\) cmとし、\(0<x<8\) とする。

  1. 面積 \(S\) を \(x\) の式で表しなさい。（10点）
  2. 面積の最大値と、そのときの辺の長さを求めなさい。（10点）

第2問　三角比（20点）

三角形 \(ABC\) で \(AB=AC=4\)、\(BC=4\sqrt{3}\) とする。

  1. \(\angle A\) を求めなさい。（10点）
  2. 三角形の面積を求めなさい。（10点）

第3問　データの分析（20点）

小さい順に並べた8個のデータは 2、3、4、5、6、7、8、9 である。四分位数は上下各4個の中央値を使う。外れ値は \(Q_1-1.5IQR\) 未満、または \(Q_3+1.5IQR\) より大きい値とする。

  1. 第1四分位数 \(Q_1\)、第3四分位数 \(Q_3\)、四分位範囲 \(IQR\) を求めなさい。（10点）
  2. この基準で、新しい観測値 \(14\) は外れ値か判定しなさい。（10点）

第4問　三角関数（20点）

\(f(\theta)=4\sin\theta+4\cos\theta\)、\(0\leq\theta<2\pi\) とする。

  1. \(f(\theta)\) を \(R\sin(\theta+\alpha)\) の形で表しなさい。ただし \(R>0\)、\(0<\alpha<\pi/2\)。（10点）
  2. 最大値と、そのときの \(\theta\) を求めなさい。（10点）

第5問　数列（20点）

\(a_1=4\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) とする。

  1. 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
  2. 初項から第5項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　条件の式化と面積の最適化

もう一辺は \(8-x\) cm。したがって \(S=x(8-x)=-(x-4)^2+16\)。頂点は許された区間内にあり、2辺が等しいとき面積が最大となる。

  1. 答え
    \[ \boxed{S=x(8-x)} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{16\ \mathrm{cm}^2,\ \text{両辺}\ 4\ \mathrm{cm}} \]

第2問　余弦定理から角と面積を決定

余弦定理で \(48=16+16-32\cos A\) より \(\cos A=-1/2\)。三角形の内角なので \(A=120^\circ\)。面積は \(\frac12 AB\cdot AC\sin A\) で求める。

  1. 答え
    \[ \boxed{120^\circ} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{4\sqrt{3}} \]

第3問　四分位数と外れ値の判定

下半分の中央2値の平均は \((3+4)/2\)、上半分は \((7+8)/2\)。その差は4である。上側の境界は \(\frac{15}{2}+6=\frac{27}{2}\)。新しい値はこの境界より大きい。

  1. 答え
    \[ \boxed{Q_1=\frac{7}{2},\ Q_3=\frac{15}{2},\ IQR=4} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\text{外れ値である}} \]

第4問　三角関数の合成と最大値

加法定理の係数を比べると \(R\cos\alpha=4\)、\(R\sin\alpha=4\)。よって \(R=4\sqrt2\)、\(\alpha=\pi/4\)。最大は \(\sin(\theta+\pi/4)=1\) のときである。

  1. 答え
    \[ \boxed{4\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\text{最大値}=4\sqrt2,\ \theta=\frac\pi4} \]

第5問　階差数列と平方数の和

\(n\geq2\) では \(a_n=a_1+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=4+n^2-1\)。この式は \(n=1\) でも成り立つ。第5項までの和は \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+5(4-1)\)。

  1. 答え
    \[ \boxed{a_n=n^2+3} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{70} \]