大学受験数学 全国模試 第028回
この回のテストポイント
- 第1問：交点と上下関係（二次関数）
- 第2問：正弦定理と外接円（三角比）
- 第3問：一次変換による平均と分散の変化（データの分析）
- 第4問：倍角公式と区間内の解（三角関数）
- 第5問：等比数列の和から項数を逆算（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=8x+9\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 放物線が直線より下にある \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(\angle A=30^\circ\)、\(\angle B=45^\circ\)、\(BC=4\) とする。
- 外接円の半径 \(R\) を求めなさい。（10点）
- 辺 \(CA\) の長さを求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
あるデータ \(x\) の平均は \(4\)、分散は4である。すべての値を \(y=3x+2\) に変換する。
- \(y\) の平均を求めなさい。（10点）
- \(y\) の分散と標準偏差を求めなさい。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(\theta\) の範囲を \(8\pi\leq\theta<10\pi\) とする。
- この範囲で \(\cos2\theta=0\) を満たす \(\theta\) をすべて求めなさい。（10点）
- 第1小問の解のうち、\(\sin\theta>0\) となるものをすべて選びなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
初項 \(4\)、公比2の等比数列を \(\{a_n\}\) とする。
- 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。（10点）
- \(S_n=124\) となる \(n\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 交点と上下関係
交点の条件を整理すると \(x^2-8x-9=(x+1)(x-9)=0\)。下にある条件はこの積が負になることであり、2つの根の間となる。
- 答え
\[ \boxed{x=-1,\ 9} \] - 答え
\[ \boxed{-1<x<9} \]
第2問 正弦定理と外接円
正弦定理より \(BC/\sin A=2R\)。\(\sin30^\circ=1/2\) なので \(R=4\)。さらに \(CA=2R\sin45^\circ\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{4} \] - 答え
\[ \boxed{4\sqrt{2}} \]
第3問 一次変換による平均と分散の変化
平均は同じ一次変換を受ける。平均との差は \(y-\bar y=3(x-\bar x)\) となるため、分散は倍率の2乗で9倍になる。平行移動の2は分散に影響しない。標準偏差は分散の正の平方根。
- 答え
\[ \boxed{14} \] - 答え
\[ \boxed{V(y)=36,\ \text{標準偏差}=6} \]
第4問 倍角公式と区間内の解
\(\phi=\theta-8\pi\) とおけば \(0\leq\phi<2\pi\)。\(2\phi\) の範囲は \(0\leq2\phi<4\pi\) で、余弦が0になる位置を4つ拾う。正弦が正になるのは \(0<\phi<\pi\) である。
- 答え
\[ \boxed{\theta=\frac{33\pi}{4},\frac{35\pi}{4},\frac{37\pi}{4},\frac{39\pi}{4}} \] - 答え
\[ \boxed{\theta=\frac{33\pi}{4},\frac{35\pi}{4}} \]
第5問 等比数列の和から項数を逆算
等比数列の和より \(S_n=4(2^n-1)/(2-1)\)。指定された和から \(2^n-1=31\)、つまり \(2^n=32\) を解く。
- 答え
\[ \boxed{S_n=4(2^n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{n=5} \]