大学受験数学 全国模試 第027回
この回のテストポイント
- 第1問：積の符号と整数解（二次不等式）
- 第2問：空間図形の高さと体積（三角比）
- 第3問：二項分布の確率と期待値（確率分布）
- 第4問：真数条件と対数方程式（対数関数）
- 第5問：等差数列の条件から一般項と和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次不等式（20点）
\((x-4)(x-8)>0\) を考える。
- 不等式の解を求めなさい。（10点）
- \(0\leq x\leq10\) の整数のうち、この不等式を満たすものの個数を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
正四角錐の底面の一辺は \(8\)、頂点から底面の各頂点までの辺は \(4\sqrt{3}\) である。
- 四角錐の高さを求めなさい。（10点）
- 四角錐の体積を求めなさい。（10点）
第3問 確率分布（20点）
成功確率 \(1/2\) の独立な試行を \(6\) 回行う。成功回数を \(X\) とする。
- \(X=1\) となる確率を求めなさい。（10点）
- \(X\) の期待値と分散を求めなさい。（10点）
第4問 対数関数（20点）
\(\log_2(x-4)+\log_2(x-5)=1\) を考える。
- 真数条件から \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 方程式の解を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
等差数列 \(\{a_n\}\) は \(a_3=8\)、\(a_7=16\) を満たす。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第10項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 積の符号と整数解
積が正になるのは2つの零点の外側である。指定された整数では \(0,\ldots,3\) の \(4\) 個と、\(9,10\) の2個を数える。零点は含めない。
- 答え
\[ \boxed{x<4\ \text{または}\ x>8} \] - 答え
\[ \boxed{6} \]
第2問 空間図形の高さと体積
頂点の真下は正方形の中心。中心から底面の頂点までの距離は半対角線 \(4\sqrt{2}\) である。高さ \(h\) に対して \(h^2=48-32=16\)。体積は底面積×高さ÷3。
- 答え
\[ \boxed{4} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{256}{3}} \]
第3問 二項分布の確率と期待値
成功する1回の位置が \(6\) 通りあり、各並びの確率は \((1/2)^{6}\)。二項分布 \(B(n,p)\) の期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{\frac{3}{32}} \] - 答え
\[ \boxed{E(X)=3,\ V(X)=\frac{3}{2}} \]
第4問 真数条件と対数方程式
両真数が正である条件は \(x>5\)。対数の和を積にまとめると \((x-4)(x-5)=2\)。\(u=x-4\) とおけば \(u(u-1)=2\) より \(u=2,-1\)。真数条件を満たす方だけを採用する。
- 答え
\[ \boxed{x>5} \] - 答え
\[ \boxed{x=6} \]
第5問 等差数列の条件から一般項と和
第3項から第7項へ4回公差を加えるので、公差は \((16-8)/4=2\)。初項は \(a_3-4=4\)。和は項数×（初項＋末項）÷2で求める。
- 答え
\[ \boxed{a_n=4+2(n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{130} \]