大学受験数学 全国模試 第026回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係による対称式（二次方程式）
- 第2問：放物線の定義と焦点・準線（平面上の曲線）
- 第3問：独立と排反を区別する（確率）
- 第4問：置換による指数方程式（指数関数）
- 第5問：絶対値の軌跡と円の位置（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
\\(x^2-7x+8=0\\) の2つの解を \(\alpha,\beta\) とする。
- 解を直接求めずに \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
- \(\frac1\alpha+\frac1\beta\) を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
放物線 \\(y^2=16x\\) を考える。
- 焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。（10点）
- 放物線上の点 \(P=(4,8)\) から焦点までの距離を求め、準線までの距離と等しいことを確かめなさい。（10点）
第3問 確率（20点）
1から \(24\) までの整数から1つを等確率で選ぶ。事象Aを「2の倍数」、Bを「3の倍数」とする。
- \(P(A),P(B),P(A\cap B)\) を求めなさい。（10点）
- AとBは独立か。また、排反か。理由も書きなさい。（10点）
第4問 指数関数（20点）
\(4^x-(16+2)2^x+32=0\) を考える。
- \(t=2^x\) とおいて、\(t\) の値をすべて求めなさい。（10点）
- \(x\) の値をすべて求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数 \(z\) は \(|z-(4+2i)|=3\) を満たす。
- この軌跡の中心を表す複素数と半径を答えなさい。（10点）
- この軌跡と直線 \(\operatorname{Re}(z)=k\) との交点を表す複素数をすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係による対称式
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=7\)、\(\alpha\beta=8\)。平方の和は \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)、逆数の和は \((\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\) で求まる。積が0でないことも確認する。
- 答え
\[ \boxed{33} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{7}{8}} \]
第2問 放物線の定義と焦点・準線
標準形 \\(y^2=4px\\) の \(p\) は \(4\)。焦点は \((4,0)\)、準線は \(x=-4\)。点 \(P\) から焦点までは縦方向の距離 \(8\)、準線までは横方向の距離 \(4-(-4)=8\) で一致する。
- 答え
\[ \boxed{\text{焦点}(4,0),\ \text{準線}\ x=-4} \] - 答え
\[ \boxed{\text{どちらも}\ 8} \]
第3問 独立と排反を区別する
2の倍数は \(12\) 個、3の倍数は \(8\) 個、両方に属する6の倍数は \(4\) 個。\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) なので独立。一方、共通する事象の確率が0でないので排反ではない。
- 答え
\[ \boxed{P(A)=\frac12,\ P(B)=\frac13,\ P(A\cap B)=\frac16} \] - 答え
\[ \boxed{\text{独立であり、排反ではない}} \]
第4問 置換による指数方程式
\(t>0\) に注意し、\(t^2-(16+2)t+32=(t-2)(t-16)\) と因数分解する。2つの根はいずれも正。\(2^x=2\) または \(2^x=2^4\) に戻す。
- 答え
\[ \boxed{t=2,\ 16} \] - 答え
\[ \boxed{x=1,\ 4} \]
第5問 絶対値の軌跡と円の位置
絶対値は複素数平面上の距離なので中心は \(4+2i\)、半径は3。\(z=4+yi\) を代入すると \(|(y-2)i|=3\)、すなわち \(y=5,-1\)。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}=4+2i,\ \text{半径}=3} \] - 答え
\[ \boxed{z=4+5i,\ 4-i} \]