大学受験数学 全国模試 第025回
この回のテストポイント
- 第1問：判別式による実数解の分類（二次方程式）
- 第2問：楕円の焦点と交点（平面上の曲線）
- 第3問：表から条件付きの母集団を選ぶ（条件付き確率）
- 第4問：負の判別式と共役な解（複素数と方程式）
- 第5問：複素数の乗法による回転（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
実数 \(t\) に対して \\(x^2-8x+t=0\\) を考える。
- 異なる2つの実数解をもつ \(t\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 重解をもつときの \(t\) と、その重解を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
楕円 \\(\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{144}=1\\) を考える。
- 2つの焦点の座標を求めなさい。（10点）
- 直線 \(x=12\) と楕円の交点を求めなさい。（10点）
第3問 条件付き確率（20点）
ある集団の検査結果は次の通りである。全員から1人を無作為に選ぶ。
| 区分 | 陽性 | 陰性 |
|---|---|---|
| 疾患あり | 8 | 8 |
| 疾患なし | 4 | 20 |
- 陽性だったという条件の下で、疾患ありである確率を求めなさい。（10点）
- 疾患ありという条件の下で、陽性である確率を求めなさい。（10点）
第4問 複素数と方程式（20点）
\\(x^2-8x+20=0\\) を複素数の範囲で解く。虚数単位を \(i\) とする。
- 2つの解を求めなさい。（10点）
- その2解を \(\alpha,\beta\) として、\(\alpha\beta\) と \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数平面上の点Aは \(z=4+i\) を表す。原点を中心に反時計回りに \(90^\circ\) 回転した点をBとする。
- Bを表す複素数 \(w\) を求めなさい。（10点）
- 線分ABの長さの2乗を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 判別式による実数解の分類
判別式は \(D=(-8)^2-4t=4(16-t)\)。異なる2実根の条件は \(D>0\)、重解の条件は \(D=0\) である。重解は軸の位置 \(x=4\) に一致する。
- 答え
\[ \boxed{t<16} \] - 答え
\[ \boxed{t=16,\ x=4} \]
第2問 楕円の焦点と交点
長半径は \(a=20\)、短半径は \(b=12\)。焦点距離は \\(c=\sqrt{a^2-b^2}=16\\)。直線を代入すると \\(y^2/144=1-9/25=16/25\\)。
- 答え
\[ \boxed{(16,0),\ (-16,0)} \] - 答え
\[ \boxed{(12,\frac{48}{5}),\ (12,-\frac{48}{5})} \]
第3問 表から条件付きの母集団を選ぶ
第1小問の条件は陽性なので分母は陽性者 \(12\) 人。第2小問の条件は疾患ありなので分母は疾患のある \(16\) 人。どちらも該当するのは \(8\) 人だが、条件ごとに分母を選び直す必要がある。
- 答え
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]
第4問 負の判別式と共役な解
平方完成すると \((x-4)^2=-4\) なので、解は共役な複素数 \(4\pm2i\)。和は \(8\)、積は \(20\)。平方の和は和の2乗から積の2倍を引いて求める。
- 答え
\[ \boxed{x=4\pm2i} \] - 答え
\[ \boxed{\alpha\beta=20,\ \alpha^2+\beta^2=24} \]
第5問 複素数の乗法による回転
反時計回りの \(90^\circ\) 回転は \(i\) を掛ける操作である。\(w=i(4+i)=-1+4i\)。\(w-z=(-5)+3i\) の絶対値の2乗は実部と虚部の平方和。
- 答え
\[ \boxed{w=-1+4i} \] - 答え
\[ \boxed{34} \]