大学受験数学 全国模試 第024回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域付き最大・最小（二次関数）
- 第2問：等距離条件から軌跡を導く（図形と方程式）
- 第3問：組合せによる委員選出（場合の数・確率）
- 第4問：剰余の定理と係数決定（式と証明）
- 第5問：空間の内積と直線上の垂足（空間ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 二次関数（20点）
\(f(x)=(x-4)^2-4\)、\(3\leq x\leq6\) とする。
- 最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
- 最大値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
点 \(A=(-4,0)\)、\(B=(4,0)\) から等距離にある点 \(P=(x,y)\) を考える。
- \(P\) の軌跡の方程式を求めなさい。（10点）
- さらに \(PA=\sqrt{25}\) を満たす \(P\) の座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 場合の数・確率（20点）
男子 \(6\) 人、女子3人から、3人の委員を選ぶ。各3人の組は同じ確率で選ばれる。
- 男子2人、女子1人となる選び方は何通りか。（10点）
- 男子2人、女子1人となる確率を求めなさい。（10点）
第4問 式と証明（20点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) を \(x-1\) で割った余りは \(4\)、\(x+1\) で割った余りは \(6\) である。
- 係数 \(a,b\) を求めなさい。（10点）
- \(P(x)\) を \(x-2\) で割った余りを求めなさい。（10点）
第5問 空間ベクトル（20点）
空間で \(O=(0,0,0)\)、\(A=(1,2,2)\)、\(P=(4,0,0)\) とする。点 \(P\) から直線 \(OA\) への垂足を \(H\) とする。
- \(H=t(1,2,2)\) とおき、\(t\) を求めなさい。（10点）
- 距離 \(PH\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 定義域付き最大・最小
軸 \(x=4\) は定義域内にあるので、頂点で最小になる。最大は軸から遠い方の端点でとる。左端では \(f(3)=-3\)、右端では \(f(6)=0\) となる。
- 答え
\[ \boxed{x=4,\ \text{最小値}=-4} \] - 答え
\[ \boxed{x=6,\ \text{最大値}=0} \]
第2問 等距離条件から軌跡を導く
\(PA^2=PB^2\) を展開すると \((x+4)^2+y^2=(x-4)^2+y^2\) から \(16x=0\)。軌跡は垂直二等分線である。\(x=0\) を追加条件に代入すると \\(y^2=9\\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0} \] - 答え
\[ \boxed{(0,3),\ (0,-3)} \]
第3問 組合せによる委員選出
順序を区別しないので組合せを使う。男子2人を \(\binom{6}{2}\) 通り、女子1人を3通りで選び、掛け合わせる。全体は \(\binom{9}{3}=84\) 通り。
- 答え
\[ \boxed{45} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{15}{28}} \]
第4問 剰余の定理と係数決定
剰余の定理で \(P(1)=1+a+b=4\)、\(P(-1)=-1-a+b=6\)。連立すると \(a=-2,b=5\)。最後の余りは \(P(2)=8+2a+b\) である。
- 答え
\[ \boxed{a=-2,\ b=5} \] - 答え
\[ \boxed{9} \]
第5問 空間の内積と直線上の垂足
より \(4-9t=0\)。垂直な分解から \(PH^2=OP^2-OH^2=16-16/9\)。
- 答え
\[ \boxed{t=\frac{4}{9}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{8\sqrt2}{3}} \]