大学受験数学 全国模試 第023回
この回のテストポイント
- 第1問：分母の有理化と共役な式（数と式）
- 第2問：内分点と点・直線の距離（図形と方程式）
- 第3問：順列の隣接条件と余事象（場合の数）
- 第4問：2曲線間の面積と上下関係（積分）
- 第5問：内分ベクトルと面積比（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
\(a=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}\)、\(b=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\) とする。
- \(a\) の分母を有理化しなさい。（10点）
- \\(a^2+b^2\\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
\(A=(0,0)\)、\(B=(12,0)\)、\(C=(0,4)\) とする。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(P\) の座標を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) と直線 \(BC\) の距離を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数（20点）
A、Bを含む互いに異なる \(7\) 人が一列に並ぶ。階乗 \(n!\) を用いて答えてよい。
- AとBが隣り合う並び方は何通りか。（10点）
- AとBが隣り合わない並び方は何通りか。（10点）
第4問 積分（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=4x\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 2曲線で囲まれる部分の面積を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
三角形 \(OAB\) で \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)。\(AB\) を \(AP:PB=1:4\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec a,\vec b\) で表しなさい。（10点）
- 三角形 \(OAP\) の面積は三角形 \(OAB\) の面積の何倍か求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 分母の有理化と共役な式
分母・分子に共役な式を掛けると分母は \((5)-4=1\)。よって \(a=\sqrt{5}+\sqrt{4}\)、\(b=\sqrt{5}-\sqrt{4}\)。平方の和では根号を含む交差項が打ち消し合う。
- 答え
\[ \boxed{\sqrt{5}+2} \] - 答え
\[ \boxed{18} \]
第2問 内分点と点・直線の距離
内分公式より \(P=(4,0)\)。直線 \(BC\) は \(4x+12y-48=0\) である。点と直線の距離の公式 \\(|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}\\) に代入する。
- 答え
\[ \boxed{(4,0)} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{4}{5}\sqrt{10}} \]
第3問 順列の隣接条件と余事象
AとBを1組とみると、組を含む \(6\) 個の並べ方は \(6!\) 通り。組内の順序は2通りである。隣り合わない並び方は全体 \(7!\) から隣り合う並び方を引く。
- 答え
\[ \boxed{2\cdot6!} \] - 答え
\[ \boxed{7!-2\cdot6!} \]
第4問 2曲線間の面積と上下関係
\\(x^2=4x\\) より交点は \(x=0,4\)。その間では直線が上にあるので、面積は \(\int_0^4\(4x-x^2\)\,dx=[2x^2-x^3/3]_0^4\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0,\ 4} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{32}{3}} \]
第5問 内分ベクトルと面積比
内分公式で \(\overrightarrow{OP}=(4\vec a+\vec b)/5\)。係数は向かい側の比になる。2つの三角形は \(O\) から直線 \(AB\) への高さが共通なので、面積比は \(AP/AB=1/5\)。
- 答え
\[ \boxed{\frac{4\vec a+\vec b}{5}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{5}} \]