大学受験数学 全国模試 第022回

この回のテストポイント

• 第1問：集合の包含関係と必要十分条件（集合と命題）
• 第2問：円の方程式と接線（図形と方程式）
• 第3問：片側検定の棄却域と結論（統計的な推測）
• 第4問：積分定数と初期条件（積分）
• 第5問：内積と垂直条件（ベクトル）

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　集合と命題（20点）

全体集合を \(U=\{1,2,\ldots,10\}\) とし、\(A=\{x\in U\mid x\leq7\}\)、\(B=\{x\in U\mid 4\leq x\leq5\}\) とする。

1. 集合 \(A\cap\overline{B}\) の要素の個数を求めなさい。（10点）
2. 条件「\(x\in A\)」は条件「\(x\in B\)」の必要条件・十分条件・必要十分条件・いずれでもない、のどれか答えなさい。（10点）

第2問　図形と方程式（20点）

円 \((x-4)^2+(y-2)^2=25\) と、その上の点 \(P=(7,6)\) を考える。

1. 円の中心と半径を求めなさい。（10点）
2. 点 \(P\) における接線の方程式を求めなさい。（10点）

第3問　統計的な推測（20点）

製品の平均重量が \(104\) gより小さくなったか調べる。母標準偏差は既知で6 g、母集団は正規分布とする。36個の独立な標本の平均は \(102\) gだった。帰無仮説は \(\mu=104\)、対立仮説は \(\mu<104\)。有意水準5%の下側片側検定の棄却域は \(Z<-1.645\) とする。

1. 検定統計量 \(Z\) を求めなさい。（10点）
2. 帰無仮説を棄却するか。平均重量について、この検定から言えることを書きなさい。（10点）

第4問　積分（20点）

多項式 \(F(x)\) は \(F'(x)=3x^2-8x\)、\(F(0)=4\) を満たす。

1. \(F(x)\) を求めなさい。（10点）
2. \(\int_0^4\(3x^2-8x\)\,dx\) を求めなさい。（10点）

第5問　ベクトル（20点）

\(\vec a=(4,1)\)、\(\vec b=(1,t)\) とする。

1. \(\vec a\) と \(\vec b\) が垂直になる \(t\) を求めなさい。（10点）
2. その \(t\) のとき \(|\vec a+\vec b|^2\) を求めなさい。（10点）