大学受験数学 全国模試 第021回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値の範囲と共通部分（数と式）
- 第2問：円の接線と方べき（図形の性質）
- 第3問：母平均の信頼区間と標本数（統計的な推測）
- 第4問：導関数の符号と極値（微分）
- 第5問：等差×等比の和とずらして引く方法（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
実数 \(x\) について、\(|x-4|\leq3\) を考える。
- この不等式の解を求めなさい。（10点）
- さらに \(x>5\) を満たす整数 \(x\) をすべて求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
円の外部の点 \(P\) から引いた割線が円と近い順に \(A,B\) で交わり、\(PA=4\)、\(PB=16\) とする。\(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\) とする。
- 接線の長さ \(PT\) を求めなさい。（10点）
- 同じ点 \(P\) を通る別の割線の交点を近い順に \(C,D\) とし、\(PC=2\) のとき \(PD\) を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母標準偏差10の正規母集団から100個の独立な標本をとったところ、標本平均は \(54\) だった。母標準偏差は既知とし、95%信頼区間の式 \(\overline x\pm1.96\sigma/\sqrt n\) を用いる。
- 母平均の95%信頼区間を求めなさい。（10点）
- 同じ母標準偏差で区間の幅を半分にしたい。必要な標本数を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
\(f(x)=x^3-12x^2\) とする。
- 増加する区間と減少する区間を求めなさい。（10点）
- 極大値と極小値を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
とする。
- \(2S-S\) を、同じ2の累乗の項どうしを引いて整理しなさい。（10点）
- \(S\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 絶対値の範囲と共通部分
絶対値は数直線上の距離なので、\(-3\leq x-4\leq3\)。第2小問ではこの区間と \(x>5\) の共通部分をとる。端点の等号の有無に注意する。
- 答え
\[ \boxed{1\leq x\leq7} \] - 答え
\[ \boxed{x=6,\ 7} \]
第2問 円の接線と方べき
方べきの定理より \(PT^2=PA\cdot PB=64\)。別の割線でも \(PC\cdot PD=64\) である。長さは正なので平方根の正の値をとる。
- 答え
\[ \boxed{8} \] - 答え
\[ \boxed{32} \]
第3問 母平均の信頼区間と標本数
誤差の幅は片側 \(1.96\cdot10/10=1.96\)。全幅は3.92となる。幅は \(1/\sqrt n\) に比例するので、半分にするには標本数を4倍にする。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1301}{25}\leq\mu\leq\frac{1399}{25}} \] - 答え
\[ \boxed{400} \]
第4問 導関数の符号と極値
\(f'(x)=3x(x-8)\)。導関数は \(x<0\)、\(x>8\) で正、\(0<x<8\) で負。符号が正から負に変わる \(x=0\) で極大、負から正に変わる \(x=8\) で極小となる。
- 答え
\[ \boxed{\text{増加}:x<0,\ x>8;\ \text{減少}:0<x<8} \] - 答え
\[ \boxed{\text{極大値}=0,\ \text{極小値}=-256} \]
第5問 等差×等比の和とずらして引く方法
\(S/4=1+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot8\) と \(2S/4=2+2\cdot4+3\cdot8+4\cdot16\) をそろえて引くと、\(S/4=4\cdot16-(1+2+4+8)=49\)。
- 答え
\[ \boxed{2S-S=4\left(4\cdot2^4-(1+2+2^2+2^3)\right)} \] - 答え
\[ \boxed{196} \]