大学受験数学 全国模試 第020回
この回のテストポイント
- 第1問：一次不等式のモデル化と整数条件（数と式）
- 第2問：余弦定理から角と面積を決定（三角比）
- 第3問：一次変換による平均と分散の変化（データの分析）
- 第4問：真数条件と対数方程式（対数関数）
- 第5問：絶対値の軌跡と円の位置（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
施設Aの料金は基本料 \(300\) 円と1時間ごとに200円、施設Bは基本料0円と1時間ごとに300円である。利用時間を正の整数 \(n\) 時間とする。
- AがBより安くなる \(n\) の条件を求めなさい。（10点）
- AがBより安くなる最短の利用時間と、そのときのAの料金を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=AC=3\)、\(BC=3\sqrt{3}\) とする。
- \(\angle A\) を求めなさい。（10点）
- 三角形の面積を求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
あるデータ \(x\) の平均は \(3\)、分散は4である。すべての値を \(y=3x+2\) に変換する。
- \(y\) の平均を求めなさい。（10点）
- \(y\) の分散と標準偏差を求めなさい。（10点）
第4問 対数関数（20点）
\(\log_2(x-3)+\log_2(x-4)=1\) を考える。
- 真数条件から \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 方程式の解を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数 \(z\) は \(|z-(3+2i)|=3\) を満たす。
- この軌跡の中心を表す複素数と半径を答えなさい。（10点）
- この軌跡と直線 \(\operatorname{Re}(z)=k\) との交点を表す複素数をすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 一次不等式のモデル化と整数条件
料金はAが \(300+200n\)、Bが \(300n\) なので、比較すると \(100n>300\)。時間は整数だから、最小の \(n\) は境界より1大きい。
- 答え
\[ \boxed{n>3} \] - 答え
\[ \boxed{4\ \text{時間},\ 1100\ \text{円}} \]
第2問 余弦定理から角と面積を決定
余弦定理で \(27=9+9-18\cos A\) より \(\cos A=-1/2\)。三角形の内角なので \(A=120^\circ\)。面積は \(\frac12 AB\cdot AC\sin A\) で求める。
- 答え
\[ \boxed{120^\circ} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{9}{4}\sqrt{3}} \]
第3問 一次変換による平均と分散の変化
平均は同じ一次変換を受ける。平均との差は \(y-\bar y=3(x-\bar x)\) となるため、分散は倍率の2乗で9倍になる。平行移動の2は分散に影響しない。標準偏差は分散の正の平方根。
- 答え
\[ \boxed{11} \] - 答え
\[ \boxed{V(y)=36,\ \text{標準偏差}=6} \]
第4問 真数条件と対数方程式
両真数が正である条件は \(x>4\)。対数の和を積にまとめると \((x-3)(x-4)=2\)。\(u=x-3\) とおけば \(u(u-1)=2\) より \(u=2,-1\)。真数条件を満たす方だけを採用する。
- 答え
\[ \boxed{x>4} \] - 答え
\[ \boxed{x=5} \]
第5問 絶対値の軌跡と円の位置
絶対値は複素数平面上の距離なので中心は \(3+2i\)、半径は3。\(z=3+yi\) を代入すると \(|(y-2)i|=3\)、すなわち \(y=5,-1\)。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}=3+2i,\ \text{半径}=3} \] - 答え
\[ \boxed{z=3+5i,\ 3-i} \]