大学受験数学 全国模試 第019回
この回のテストポイント
- 第1問：条件の式化と面積の最適化（二次関数の活用）
- 第2問：正弦定理と外接円（三角比）
- 第3問：二項分布の確率と期待値（確率分布）
- 第4問：置換による指数方程式（指数関数）
- 第5問：複素数の乗法による回転（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 二次関数の活用（20点）
長方形の周の長さは \(12\) cmである。一辺を \(x\) cmとし、\(0<x<6\) とする。
- 面積 \(S\) を \(x\) の式で表しなさい。（10点）
- 面積の最大値と、そのときの辺の長さを求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(\angle A=30^\circ\)、\(\angle B=45^\circ\)、\(BC=3\) とする。
- 外接円の半径 \(R\) を求めなさい。（10点）
- 辺 \(CA\) の長さを求めなさい。（10点）
第3問 確率分布（20点）
成功確率 \(1/2\) の独立な試行を \(5\) 回行う。成功回数を \(X\) とする。
- \(X=1\) となる確率を求めなさい。（10点）
- \(X\) の期待値と分散を求めなさい。（10点）
第4問 指数関数（20点）
\(4^x-(8+2)2^x+16=0\) を考える。
- \(t=2^x\) とおいて、\(t\) の値をすべて求めなさい。（10点）
- \(x\) の値をすべて求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数平面上の点Aは \(z=3+i\) を表す。原点を中心に反時計回りに \(90^\circ\) 回転した点をBとする。
- Bを表す複素数 \(w\) を求めなさい。（10点）
- 線分ABの長さの2乗を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 条件の式化と面積の最適化
もう一辺は \(6-x\) cm。したがって \(S=x(6-x)=-(x-3)^2+9\)。頂点は許された区間内にあり、2辺が等しいとき面積が最大となる。
- 答え
\[ \boxed{S=x(6-x)} \] - 答え
\[ \boxed{9\ \mathrm{cm}^2,\ \text{両辺}\ 3\ \mathrm{cm}} \]
第2問 正弦定理と外接円
正弦定理より \(BC/\sin A=2R\)。\(\sin30^\circ=1/2\) なので \(R=3\)。さらに \(CA=2R\sin45^\circ\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{3} \] - 答え
\[ \boxed{3\sqrt{2}} \]
第3問 二項分布の確率と期待値
成功する1回の位置が \(5\) 通りあり、各並びの確率は \((1/2)^{5}\)。二項分布 \(B(n,p)\) の期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{\frac{5}{32}} \] - 答え
\[ \boxed{E(X)=\frac{5}{2},\ V(X)=\frac{5}{4}} \]
第4問 置換による指数方程式
\(t>0\) に注意し、\(t^2-(8+2)t+16=(t-2)(t-8)\) と因数分解する。2つの根はいずれも正。\(2^x=2\) または \(2^x=2^3\) に戻す。
- 答え
\[ \boxed{t=2,\ 8} \] - 答え
\[ \boxed{x=1,\ 3} \]
第5問 複素数の乗法による回転
反時計回りの \(90^\circ\) 回転は \(i\) を掛ける操作である。\(w=i(3+i)=-1+3i\)。\(w-z=(-4)+2i\) の絶対値の2乗は実部と虚部の平方和。
- 答え
\[ \boxed{w=-1+3i} \] - 答え
\[ \boxed{20} \]