大学受験数学 全国模試 第018回
この回のテストポイント
- 第1問：交点と上下関係（二次関数）
- 第2問：空間図形の高さと体積（三角比）
- 第3問：独立と排反を区別する（確率）
- 第4問：負の判別式と共役な解（複素数と方程式）
- 第5問：空間の内積と直線上の垂足（空間ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=6x+7\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 放物線が直線より下にある \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
正四角錐の底面の一辺は \(6\)、頂点から底面の各頂点までの辺は \(3\sqrt{3}\) である。
- 四角錐の高さを求めなさい。（10点）
- 四角錐の体積を求めなさい。（10点）
第3問 確率（20点）
1から \(18\) までの整数から1つを等確率で選ぶ。事象Aを「2の倍数」、Bを「3の倍数」とする。
- \(P(A),P(B),P(A\cap B)\) を求めなさい。（10点）
- AとBは独立か。また、排反か。理由も書きなさい。（10点）
第4問 複素数と方程式（20点）
\\(x^2-6x+13=0\\) を複素数の範囲で解く。虚数単位を \(i\) とする。
- 2つの解を求めなさい。（10点）
- その2解を \(\alpha,\beta\) として、\(\alpha\beta\) と \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
第5問 空間ベクトル（20点）
空間で \(O=(0,0,0)\)、\(A=(1,2,2)\)、\(P=(3,0,0)\) とする。点 \(P\) から直線 \(OA\) への垂足を \(H\) とする。
- \(H=t(1,2,2)\) とおき、\(t\) を求めなさい。（10点）
- 距離 \(PH\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 交点と上下関係
交点の条件を整理すると \(x^2-6x-7=(x+1)(x-7)=0\)。下にある条件はこの積が負になることであり、2つの根の間となる。
- 答え
\[ \boxed{x=-1,\ 7} \] - 答え
\[ \boxed{-1<x<7} \]
第2問 空間図形の高さと体積
頂点の真下は正方形の中心。中心から底面の頂点までの距離は半対角線 \(3\sqrt{2}\) である。高さ \(h\) に対して \(h^2=27-18=9\)。体積は底面積×高さ÷3。
- 答え
\[ \boxed{3} \] - 答え
\[ \boxed{36} \]
第3問 独立と排反を区別する
2の倍数は \(9\) 個、3の倍数は \(6\) 個、両方に属する6の倍数は \(3\) 個。\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) なので独立。一方、共通する事象の確率が0でないので排反ではない。
- 答え
\[ \boxed{P(A)=\frac12,\ P(B)=\frac13,\ P(A\cap B)=\frac16} \] - 答え
\[ \boxed{\text{独立であり、排反ではない}} \]
第4問 負の判別式と共役な解
平方完成すると \((x-3)^2=-4\) なので、解は共役な複素数 \(3\pm2i\)。和は \(6\)、積は \(13\)。平方の和は和の2乗から積の2倍を引いて求める。
- 答え
\[ \boxed{x=3\pm2i} \] - 答え
\[ \boxed{\alpha\beta=13,\ \alpha^2+\beta^2=10} \]
第5問 空間の内積と直線上の垂足
より \(3-9t=0\)。垂直な分解から \(PH^2=OP^2-OH^2=9-9/9\)。
- 答え
\[ \boxed{t=\frac{1}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{6\sqrt2}{3}} \]