大学受験数学 全国模試 第017回
この回のテストポイント
- 第1問：積の符号と整数解（二次不等式）
- 第2問：放物線の定義と焦点・準線（平面上の曲線）
- 第3問：表から条件付きの母集団を選ぶ（条件付き確率）
- 第4問：剰余の定理と係数決定（式と証明）
- 第5問：内分ベクトルと面積比（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 二次不等式（20点）
\((x-3)(x-7)>0\) を考える。
- 不等式の解を求めなさい。（10点）
- \(0\leq x\leq9\) の整数のうち、この不等式を満たすものの個数を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
放物線 \\(y^2=12x\\) を考える。
- 焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。（10点）
- 放物線上の点 \(P=(3,6)\) から焦点までの距離を求め、準線までの距離と等しいことを確かめなさい。（10点）
第3問 条件付き確率（20点）
ある集団の検査結果は次の通りである。全員から1人を無作為に選ぶ。
| 区分 | 陽性 | 陰性 |
|---|---|---|
| 疾患あり | 6 | 6 |
| 疾患なし | 3 | 15 |
- 陽性だったという条件の下で、疾患ありである確率を求めなさい。（10点）
- 疾患ありという条件の下で、陽性である確率を求めなさい。（10点）
第4問 式と証明（20点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) を \(x-1\) で割った余りは \(3\)、\(x+1\) で割った余りは \(5\) である。
- 係数 \(a,b\) を求めなさい。（10点）
- \(P(x)\) を \(x-2\) で割った余りを求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
三角形 \(OAB\) で \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)。\(AB\) を \(AP:PB=1:3\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec a,\vec b\) で表しなさい。（10点）
- 三角形 \(OAP\) の面積は三角形 \(OAB\) の面積の何倍か求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 積の符号と整数解
積が正になるのは2つの零点の外側である。指定された整数では \(0,\ldots,2\) の \(3\) 個と、\(8,9\) の2個を数える。零点は含めない。
- 答え
\[ \boxed{x<3\ \text{または}\ x>7} \] - 答え
\[ \boxed{5} \]
第2問 放物線の定義と焦点・準線
標準形 \\(y^2=4px\\) の \(p\) は \(3\)。焦点は \((3,0)\)、準線は \(x=-3\)。点 \(P\) から焦点までは縦方向の距離 \(6\)、準線までは横方向の距離 \(3-(-3)=6\) で一致する。
- 答え
\[ \boxed{\text{焦点}(3,0),\ \text{準線}\ x=-3} \] - 答え
\[ \boxed{\text{どちらも}\ 6} \]
第3問 表から条件付きの母集団を選ぶ
第1小問の条件は陽性なので分母は陽性者 \(9\) 人。第2小問の条件は疾患ありなので分母は疾患のある \(12\) 人。どちらも該当するのは \(6\) 人だが、条件ごとに分母を選び直す必要がある。
- 答え
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]
第4問 剰余の定理と係数決定
剰余の定理で \(P(1)=1+a+b=3\)、\(P(-1)=-1-a+b=5\)。連立すると \(a=-2,b=4\)。最後の余りは \(P(2)=8+2a+b\) である。
- 答え
\[ \boxed{a=-2,\ b=4} \] - 答え
\[ \boxed{8} \]
第5問 内分ベクトルと面積比
内分公式で \(\overrightarrow{OP}=(3\vec a+\vec b)/4\)。係数は向かい側の比になる。2つの三角形は \(O\) から直線 \(AB\) への高さが共通なので、面積比は \(AP/AB=1/4\)。
- 答え
\[ \boxed{\frac{3\vec a+\vec b}{4}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]