大学受験数学 全国模試 第016回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係による対称式（二次方程式）
- 第2問：楕円の焦点と交点（平面上の曲線）
- 第3問：組合せによる委員選出（場合の数・確率）
- 第4問：2曲線間の面積と上下関係（積分）
- 第5問：内積と垂直条件（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
\\(x^2-6x+6=0\\) の2つの解を \(\alpha,\beta\) とする。
- 解を直接求めずに \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
- \(\frac1\alpha+\frac1\beta\) を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
楕円 \\(\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1\\) を考える。
- 2つの焦点の座標を求めなさい。（10点）
- 直線 \(x=9\) と楕円の交点を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数・確率（20点）
男子 \(5\) 人、女子3人から、3人の委員を選ぶ。各3人の組は同じ確率で選ばれる。
- 男子2人、女子1人となる選び方は何通りか。（10点）
- 男子2人、女子1人となる確率を求めなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=3x\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 2曲線で囲まれる部分の面積を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
\(\vec a=(3,1)\)、\(\vec b=(1,t)\) とする。
- \(\vec a\) と \(\vec b\) が垂直になる \(t\) を求めなさい。（10点）
- その \(t\) のとき \(|\vec a+\vec b|^2\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係による対称式
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=6\)、\(\alpha\beta=6\)。平方の和は \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)、逆数の和は \((\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\) で求まる。積が0でないことも確認する。
- 答え
\[ \boxed{24} \] - 答え
\[ \boxed{1} \]
第2問 楕円の焦点と交点
長半径は \(a=15\)、短半径は \(b=9\)。焦点距離は \\(c=\sqrt{a^2-b^2}=12\\)。直線を代入すると \\(y^2/81=1-9/25=16/25\\)。
- 答え
\[ \boxed{(12,0),\ (-12,0)} \] - 答え
\[ \boxed{(9,\frac{36}{5}),\ (9,-\frac{36}{5})} \]
第3問 組合せによる委員選出
順序を区別しないので組合せを使う。男子2人を \(\binom{5}{2}\) 通り、女子1人を3通りで選び、掛け合わせる。全体は \(\binom{8}{3}=56\) 通り。
- 答え
\[ \boxed{30} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{15}{28}} \]
第4問 2曲線間の面積と上下関係
\\(x^2=3x\\) より交点は \(x=0,3\)。その間では直線が上にあるので、面積は
。
- 答え
\[ \boxed{x=0,\ 3} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{9}{2}} \]
第5問 内積と垂直条件
垂直条件は内積0なので \(3+t=0\)。そのとき \(\vec a+\vec b=(4,-2)\) だから長さの2乗は成分の平方和。または垂直性から \(|\vec a|^2+|\vec b|^2\) を使える。
- 答え
\[ \boxed{t=-3} \] - 答え
\[ \boxed{20} \]