大学受験数学 全国模試 第015回
この回のテストポイント
- 第1問：判別式による実数解の分類（二次方程式）
- 第2問：等距離条件から軌跡を導く（図形と方程式）
- 第3問：順列の隣接条件と余事象（場合の数）
- 第4問：積分定数と初期条件（積分）
- 第5問：等差×等比の和とずらして引く方法（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
実数 \(t\) に対して \\(x^2-6x+t=0\\) を考える。
- 異なる2つの実数解をもつ \(t\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 重解をもつときの \(t\) と、その重解を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
点 \(A=(-3,0)\)、\(B=(3,0)\) から等距離にある点 \(P=(x,y)\) を考える。
- \(P\) の軌跡の方程式を求めなさい。（10点）
- さらに \(PA=\sqrt{18}\) を満たす \(P\) の座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 場合の数（20点）
A、Bを含む互いに異なる \(6\) 人が一列に並ぶ。階乗 \(n!\) を用いて答えてよい。
- AとBが隣り合う並び方は何通りか。（10点）
- AとBが隣り合わない並び方は何通りか。（10点）
第4問 積分（20点）
多項式 \(F(x)\) は \(F'(x)=3x^2-6x\)、\(F(0)=3\) を満たす。
- \(F(x)\) を求めなさい。（10点）
- \(\int_0^3\(3x^2-6x\)\,dx\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
とする。
- \(2S-S\) を、同じ2の累乗の項どうしを引いて整理しなさい。（10点）
- \(S\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 判別式による実数解の分類
判別式は \(D=(-6)^2-4t=4(9-t)\)。異なる2実根の条件は \(D>0\)、重解の条件は \(D=0\) である。重解は軸の位置 \(x=3\) に一致する。
- 答え
\[ \boxed{t<9} \] - 答え
\[ \boxed{t=9,\ x=3} \]
第2問 等距離条件から軌跡を導く
\(PA^2=PB^2\) を展開すると \((x+3)^2+y^2=(x-3)^2+y^2\) から \(12x=0\)。軌跡は垂直二等分線である。\(x=0\) を追加条件に代入すると \\(y^2=9\\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0} \] - 答え
\[ \boxed{(0,3),\ (0,-3)} \]
第3問 順列の隣接条件と余事象
AとBを1組とみると、組を含む \(5\) 個の並べ方は \(5!\) 通り。組内の順序は2通りである。隣り合わない並び方は全体 \(6!\) から隣り合う並び方を引く。
- 答え
\[ \boxed{2\cdot5!} \] - 答え
\[ \boxed{6!-2\cdot5!} \]
第4問 積分定数と初期条件
不定積分は \(F(x)=x^3-3x^2+C\)。初期条件より \(C=3\)。定積分は原始関数の両端の差であり、\(F(3)-F(0)\) を計算する。積分定数は差で消える。
- 答え
\[ \boxed{F(x)=x^3-3x^2+3} \] - 答え
\[ \boxed{0} \]
第5問 等差×等比の和とずらして引く方法
\(S/3=1+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot8\) と \(2S/3=2+2\cdot4+3\cdot8+4\cdot16\) をそろえて引くと、\(S/3=4\cdot16-(1+2+4+8)=49\)。
- 答え
\[ \boxed{2S-S=3\left(4\cdot2^4-(1+2+2^2+2^3)\right)} \] - 答え
\[ \boxed{147} \]