大学受験数学 全国模試 第014回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域付き最大・最小（二次関数）
- 第2問：内分点と点・直線の距離（図形と方程式）
- 第3問：片側検定の棄却域と結論（統計的な推測）
- 第4問：導関数の符号と極値（微分）
- 第5問：漸化式の固定点と等比数列への変換（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
\(f(x)=(x-3)^2-4\)、\(2\leq x\leq5\) とする。
- 最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
- 最大値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
\(A=(0,0)\)、\(B=(9,0)\)、\(C=(0,4)\) とする。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(P\) の座標を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) と直線 \(BC\) の距離を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
製品の平均重量が \(103\) gより小さくなったか調べる。母標準偏差は既知で6 g、母集団は正規分布とする。36個の独立な標本の平均は \(101\) gだった。帰無仮説は \(\mu=103\)、対立仮説は \(\mu<103\)。有意水準5%の下側片側検定の棄却域は \(Z<-1.645\) とする。
- 検定統計量 \(Z\) を求めなさい。（10点）
- 帰無仮説を棄却するか。平均重量について、この検定から言えることを書きなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
\(f(x)=x^3-9x^2\) とする。
- 増加する区間と減少する区間を求めなさい。（10点）
- 極大値と極小値を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=4\)、\(a_{n+1}=2a_n-3\) とする。
- \(b_n=a_n-k\) とおく理由を説明し、\(b_n\) の一般項を求めなさい。（10点）
- \(a_5\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 定義域付き最大・最小
軸 \(x=3\) は定義域内にあるので、頂点で最小になる。最大は軸から遠い方の端点でとる。左端では \(f(2)=-3\)、右端では \(f(5)=0\) となる。
- 答え
\[ \boxed{x=3,\ \text{最小値}=-4} \] - 答え
\[ \boxed{x=5,\ \text{最大値}=0} \]
第2問 内分点と点・直線の距離
内分公式より \(P=(3,0)\)。直線 \(BC\) は \(4x+9y-36=0\) である。点と直線の距離の公式 \\(|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}\\) に代入する。
- 答え
\[ \boxed{(3,0)} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{24}{97}\sqrt{97}} \]
第3問 片側検定の棄却域と結論
帰無仮説の下で標本平均の標準偏差は \(6/\sqrt{36}=1\)。したがって \(Z=(101-103)/1=-2\)。これは棄却域に入るので、有意水準5%で平均が基準値より小さくなったと判断する。
- 答え
\[ \boxed{-2} \] - 答え
\[ \boxed{\text{棄却する。平均重量が基準値より小さいと判断する}} \]
第4問 導関数の符号と極値
\(f'(x)=3x(x-6)\)。導関数は \(x<0\)、\(x>6\) で正、\(0<x<6\) で負。符号が正から負に変わる \(x=0\) で極大、負から正に変わる \(x=6\) で極小となる。
- 答え
\[ \boxed{\text{増加}:x<0,\ x>6;\ \text{減少}:0<x<6} \] - 答え
\[ \boxed{\text{極大値}=0,\ \text{極小値}=-108} \]
第5問 漸化式の固定点と等比数列への変換
定数解 \(a_n=3\) を引くことで \(b_{n+1}=2b_n\)、\(b_1=1\) となる。この等比数列から \(b_n=2^{n-1}\)、\(a_n=3+2^{n-1}\)。
- 答え
\[ \boxed{b_n=2^{n-1}\quad\text{固定点を引くと定数項が消える}} \] - 答え
\[ \boxed{19} \]