大学受験数学 全国模試 第013回
この回のテストポイント
- 第1問：分母の有理化と共役な式（数と式）
- 第2問：円の方程式と接線（図形と方程式）
- 第3問：母平均の信頼区間と標本数（統計的な推測）
- 第4問：微分係数と接線の方程式（微分）
- 第5問：階差数列と平方数の和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
\(a=\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}\)、\(b=\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}\) とする。
- \(a\) の分母を有理化しなさい。（10点）
- \\(a^2+b^2\\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
円 \((x-3)^2+(y-2)^2=25\) と、その上の点 \(P=(6,6)\) を考える。
- 円の中心と半径を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) における接線の方程式を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母標準偏差10の正規母集団から100個の独立な標本をとったところ、標本平均は \(53\) だった。母標準偏差は既知とし、95%信頼区間の式 \(\overline x\pm1.96\sigma/\sqrt n\) を用いる。
- 母平均の95%信頼区間を求めなさい。（10点）
- 同じ母標準偏差で区間の幅を半分にしたい。必要な標本数を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
曲線 \(y=x^3\) 上の点 \(P=(3,27)\) を考える。
- 点 \(P\) における接線の傾きを求めなさい。（10点）
- この接線の方程式を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=3\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) とする。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第5項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 分母の有理化と共役な式
分母・分子に共役な式を掛けると分母は \((4)-3=1\)。よって \(a=\sqrt{4}+\sqrt{3}\)、\(b=\sqrt{4}-\sqrt{3}\)。平方の和では根号を含む交差項が打ち消し合う。
- 答え
\[ \boxed{2+\sqrt{3}} \] - 答え
\[ \boxed{14} \]
第2問 円の方程式と接線
標準形から中心は \((3,2)\)、半径は5。半径の方向は \((3,4)\) なので接線の法線ベクトルも \((3,4)\)。\(3(x-6)+4(y-6)=0\) を整理する。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}(3,2),\ \text{半径}5} \] - 答え
\[ \boxed{3x+4y=42} \]
第3問 母平均の信頼区間と標本数
誤差の幅は片側 \(1.96\cdot10/10=1.96\)。全幅は3.92となる。幅は \(1/\sqrt n\) に比例するので、半分にするには標本数を4倍にする。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1276}{25}\leq\mu\leq\frac{1374}{25}} \] - 答え
\[ \boxed{400} \]
第4問 微分係数と接線の方程式
導関数は \\(y'=3x^2\\) なので、接線の傾きは \(27\)。点と傾きから \(y-27=27(x-3)\) とおき、整理する。
- 答え
\[ \boxed{27} \] - 答え
\[ \boxed{y=27x-54} \]
第5問 階差数列と平方数の和
\(n\geq2\) では \(a_n=a_1+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=3+n^2-1\)。この式は \(n=1\) でも成り立つ。第5項までの和は \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+5(3-1)\)。
- 答え
\[ \boxed{a_n=n^2+2} \] - 答え
\[ \boxed{65} \]