大学受験数学 全国模試 第012回

この回のテストポイント

• 第1問：集合の包含関係と必要十分条件（集合と命題）
• 第2問：円の接線と方べき（図形の性質）
• 第3問：標本平均の分布と標準化（統計的な推測）
• 第4問：三角関数の合成と最大値（三角関数）
• 第5問：等比数列の和から項数を逆算（数列）

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　集合と命題（20点）

全体集合を \(U=\{1,2,\ldots,9\}\) とし、\(A=\{x\in U\mid x\leq6\}\)、\(B=\{x\in U\mid 3\leq x\leq4\}\) とする。

1. 集合 \(A\cap\overline{B}\) の要素の個数を求めなさい。（10点）
2. 条件「\(x\in A\)」は条件「\(x\in B\)」の必要条件・十分条件・必要十分条件・いずれでもない、のどれか答えなさい。（10点）

第2問　図形の性質（20点）

円の外部の点 \(P\) から引いた割線が円と近い順に \(A,B\) で交わり、\(PA=3\)、\(PB=12\) とする。\(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\) とする。

1. 接線の長さ \(PT\) を求めなさい。（10点）
2. 同じ点 \(P\) を通る別の割線の交点を近い順に \(C,D\) とし、\(PC=2\) のとき \(PD\) を求めなさい。（10点）

第3問　統計的な推測（20点）

母平均 \(3\)、母標準偏差4の正規母集団から、独立に16個を抽出し、標本平均を \(\overline X\) とする。標準正規変数 \(Z\) について \(P(-1\leq Z\leq1)=0.6826\) を使ってよい。

1. \(\overline X\) の期待値と標準偏差を求めなさい。（10点）
2. \(P(2\leq\overline X\leq4)\) を求めなさい。（10点）

第4問　三角関数（20点）

\(f(\theta)=3\sin\theta+3\cos\theta\)、\(0\leq\theta<2\pi\) とする。

1. \(f(\theta)\) を \(R\sin(\theta+\alpha)\) の形で表しなさい。ただし \(R>0\)、\(0<\alpha<\pi/2\)。（10点）
2. 最大値と、そのときの \(\theta\) を求めなさい。（10点）

第5問　数列（20点）

初項 \(3\)、公比2の等比数列を \(\{a_n\}\) とする。

1. 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。（10点）
2. \(S_n=93\) となる \(n\) を求めなさい。（10点）