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大学受験数学 全国模試 第011回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　数と式（20点）

実数 \(x\) について、\(|x-3|\leq3\) を考える。

  1. この不等式の解を求めなさい。（10点）
  2. さらに \(x>4\) を満たす整数 \(x\) をすべて求めなさい。（10点）

第2問　図形の性質（20点）

三角形 \(ABC\) で \(AB=6\)、\(AC=9\)、\(BC=12\) とする。\(\angle A\) の内角の二等分線と \(BC\) の交点を \(D\) とする。

  1. \(BD\) と \(DC\) を求めなさい。（10点）
  2. 三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) の面積の比を求めなさい。（10点）

第3問　データの分析（20点）

小さい順に並べた8個のデータは 1、2、3、4、5、6、7、8 である。四分位数は上下各4個の中央値を使う。外れ値は \(Q_1-1.5IQR\) 未満、または \(Q_3+1.5IQR\) より大きい値とする。

  1. 第1四分位数 \(Q_1\)、第3四分位数 \(Q_3\)、四分位範囲 \(IQR\) を求めなさい。（10点）
  2. この基準で、新しい観測値 \(13\) は外れ値か判定しなさい。（10点）

第4問　三角関数（20点）

\(\theta\) の範囲を \(6\pi\leq\theta<8\pi\) とする。

  1. この範囲で \(\cos2\theta=0\) を満たす \(\theta\) をすべて求めなさい。（10点）
  2. 第1小問の解のうち、\(\sin\theta>0\) となるものをすべて選びなさい。（10点）

第5問　数列（20点）

等差数列 \(\{a_n\}\) は \(a_3=7\)、\(a_7=15\) を満たす。

  1. 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
  2. 初項から第10項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　絶対値の範囲と共通部分

絶対値は数直線上の距離なので、\(-3\leq x-3\leq3\)。第2小問ではこの区間と \(x>4\) の共通部分をとる。端点の等号の有無に注意する。

  1. 答え
    \[ \boxed{0\leq x\leq6} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{x=5,\ 6} \]

第2問　角の二等分線と辺の比

角の二等分線の定理より \(BD:DC=AB:AC=2:3\)。辺全体を5等分して配分する。2つの三角形は直線 \(BC\) に対する高さが共通なので、面積比も底辺の比に一致する。

  1. 答え
    \[ \boxed{BD=\frac{24}{5},\ DC=\frac{36}{5}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{2:3} \]

第3問　四分位数と外れ値の判定

下半分の中央2値の平均は \((2+3)/2\)、上半分は \((6+7)/2\)。その差は4である。上側の境界は \(\frac{13}{2}+6=\frac{25}{2}\)。新しい値はこの境界より大きい。

  1. 答え
    \[ \boxed{Q_1=\frac{5}{2},\ Q_3=\frac{13}{2},\ IQR=4} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\text{外れ値である}} \]

第4問　倍角公式と区間内の解

\(\phi=\theta-6\pi\) とおけば \(0\leq\phi<2\pi\)。\(2\phi\) の範囲は \(0\leq2\phi<4\pi\) で、余弦が0になる位置を4つ拾う。正弦が正になるのは \(0<\phi<\pi\) である。

  1. 答え
    \[ \boxed{\theta=\frac{25\pi}{4},\frac{27\pi}{4},\frac{29\pi}{4},\frac{31\pi}{4}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\theta=\frac{25\pi}{4},\frac{27\pi}{4}} \]

第5問　等差数列の条件から一般項と和

第3項から第7項へ4回公差を加えるので、公差は \((15-7)/4=2\)。初項は \(a_3-4=3\)。和は項数×（初項＋末項）÷2で求める。

  1. 答え
    \[ \boxed{a_n=3+2(n-1)} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{120} \]