大学受験数学 全国模試 第010回
この回のテストポイント
- 第1問：一次不等式のモデル化と整数条件（数と式）
- 第2問：正弦定理と外接円（三角比）
- 第3問：独立と排反を区別する（確率）
- 第4問：剰余の定理と係数決定（式と証明）
- 第5問：内積と垂直条件（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
施設Aの料金は基本料 \(200\) 円と1時間ごとに200円、施設Bは基本料0円と1時間ごとに300円である。利用時間を正の整数 \(n\) 時間とする。
- AがBより安くなる \(n\) の条件を求めなさい。（10点）
- AがBより安くなる最短の利用時間と、そのときのAの料金を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(\angle A=30^\circ\)、\(\angle B=45^\circ\)、\(BC=2\) とする。
- 外接円の半径 \(R\) を求めなさい。（10点）
- 辺 \(CA\) の長さを求めなさい。（10点）
第3問 確率（20点）
1から \(12\) までの整数から1つを等確率で選ぶ。事象Aを「2の倍数」、Bを「3の倍数」とする。
- \(P(A),P(B),P(A\cap B)\) を求めなさい。（10点）
- AとBは独立か。また、排反か。理由も書きなさい。（10点）
第4問 式と証明（20点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) を \(x-1\) で割った余りは \(2\)、\(x+1\) で割った余りは \(4\) である。
- 係数 \(a,b\) を求めなさい。（10点）
- \(P(x)\) を \(x-2\) で割った余りを求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
\(\vec a=(2,1)\)、\(\vec b=(1,t)\) とする。
- \(\vec a\) と \(\vec b\) が垂直になる \(t\) を求めなさい。（10点）
- その \(t\) のとき \(|\vec a+\vec b|^2\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 一次不等式のモデル化と整数条件
料金はAが \(200+200n\)、Bが \(300n\) なので、比較すると \(100n>200\)。時間は整数だから、最小の \(n\) は境界より1大きい。
- 答え
\[ \boxed{n>2} \] - 答え
\[ \boxed{3\ \text{時間},\ 800\ \text{円}} \]
第2問 正弦定理と外接円
正弦定理より \(BC/\sin A=2R\)。\(\sin30^\circ=1/2\) なので \(R=2\)。さらに \(CA=2R\sin45^\circ\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{2} \] - 答え
\[ \boxed{2\sqrt{2}} \]
第3問 独立と排反を区別する
2の倍数は \(6\) 個、3の倍数は \(4\) 個、両方に属する6の倍数は \(2\) 個。\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) なので独立。一方、共通する事象の確率が0でないので排反ではない。
- 答え
\[ \boxed{P(A)=\frac12,\ P(B)=\frac13,\ P(A\cap B)=\frac16} \] - 答え
\[ \boxed{\text{独立であり、排反ではない}} \]
第4問 剰余の定理と係数決定
剰余の定理で \(P(1)=1+a+b=2\)、\(P(-1)=-1-a+b=4\)。連立すると \(a=-2,b=3\)。最後の余りは \(P(2)=8+2a+b\) である。
- 答え
\[ \boxed{a=-2,\ b=3} \] - 答え
\[ \boxed{7} \]
第5問 内積と垂直条件
垂直条件は内積0なので \(2+t=0\)。そのとき \(\vec a+\vec b=(3,-1)\) だから長さの2乗は成分の平方和。または垂直性から \(|\vec a|^2+|\vec b|^2\) を使える。
- 答え
\[ \boxed{t=-2} \] - 答え
\[ \boxed{10} \]