大学受験数学 全国模試 第009回
この回のテストポイント
- 第1問：条件の式化と面積の最適化（二次関数の活用）
- 第2問：空間図形の高さと体積（三角比）
- 第3問：表から条件付きの母集団を選ぶ（条件付き確率）
- 第4問：2曲線間の面積と上下関係（積分）
- 第5問：等差×等比の和とずらして引く方法（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数の活用（20点）
長方形の周の長さは \(8\) cmである。一辺を \(x\) cmとし、\(0<x<4\) とする。
- 面積 \(S\) を \(x\) の式で表しなさい。（10点）
- 面積の最大値と、そのときの辺の長さを求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
正四角錐の底面の一辺は \(4\)、頂点から底面の各頂点までの辺は \(2\sqrt{3}\) である。
- 四角錐の高さを求めなさい。（10点）
- 四角錐の体積を求めなさい。（10点）
第3問 条件付き確率（20点）
ある集団の検査結果は次の通りである。全員から1人を無作為に選ぶ。
| 区分 | 陽性 | 陰性 |
|---|---|---|
| 疾患あり | 4 | 4 |
| 疾患なし | 2 | 10 |
- 陽性だったという条件の下で、疾患ありである確率を求めなさい。（10点）
- 疾患ありという条件の下で、陽性である確率を求めなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=2x\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 2曲線で囲まれる部分の面積を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
とする。
- \(2S-S\) を、同じ2の累乗の項どうしを引いて整理しなさい。（10点）
- \(S\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 条件の式化と面積の最適化
もう一辺は \(4-x\) cm。したがって \(S=x(4-x)=-(x-2)^2+4\)。頂点は許された区間内にあり、2辺が等しいとき面積が最大となる。
- 答え
\[ \boxed{S=x(4-x)} \] - 答え
\[ \boxed{4\ \mathrm{cm}^2,\ \text{両辺}\ 2\ \mathrm{cm}} \]
第2問 空間図形の高さと体積
頂点の真下は正方形の中心。中心から底面の頂点までの距離は半対角線 \(2\sqrt{2}\) である。高さ \(h\) に対して \(h^2=12-8=4\)。体積は底面積×高さ÷3。
- 答え
\[ \boxed{2} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{32}{3}} \]
第3問 表から条件付きの母集団を選ぶ
第1小問の条件は陽性なので分母は陽性者 \(6\) 人。第2小問の条件は疾患ありなので分母は疾患のある \(8\) 人。どちらも該当するのは \(4\) 人だが、条件ごとに分母を選び直す必要がある。
- 答え
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]
第4問 2曲線間の面積と上下関係
\\(x^2=2x\\) より交点は \(x=0,2\)。その間では直線が上にあるので、面積は \(\int_0^2\(2x-x^2\)\,dx=[1x^2-x^3/3]_0^2\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0,\ 2} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{4}{3}} \]
第5問 等差×等比の和とずらして引く方法
\(S/2=1+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot8\) と \(2S/2=2+2\cdot4+3\cdot8+4\cdot16\) をそろえて引くと、\(S/2=4\cdot16-(1+2+4+8)=49\)。
- 答え
\[ \boxed{2S-S=2\left(4\cdot2^4-(1+2+2^2+2^3)\right)} \] - 答え
\[ \boxed{98} \]