大学受験数学 全国模試 第008回
この回のテストポイント
- 第1問：交点と上下関係（二次関数）
- 第2問：放物線の定義と焦点・準線（平面上の曲線）
- 第3問：組合せによる委員選出（場合の数・確率）
- 第4問：積分定数と初期条件（積分）
- 第5問：漸化式の固定点と等比数列への変換（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=4x+5\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 放物線が直線より下にある \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
放物線 \\(y^2=8x\\) を考える。
- 焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。（10点）
- 放物線上の点 \(P=(2,4)\) から焦点までの距離を求め、準線までの距離と等しいことを確かめなさい。（10点）
第3問 場合の数・確率（20点）
男子 \(4\) 人、女子3人から、3人の委員を選ぶ。各3人の組は同じ確率で選ばれる。
- 男子2人、女子1人となる選び方は何通りか。（10点）
- 男子2人、女子1人となる確率を求めなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
多項式 \(F(x)\) は \(F'(x)=3x^2-4x\)、\(F(0)=2\) を満たす。
- \(F(x)\) を求めなさい。（10点）
- \(\int_0^2\(3x^2-4x\)\,dx\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=3\)、\(a_{n+1}=2a_n-2\) とする。
- \(b_n=a_n-k\) とおく理由を説明し、\(b_n\) の一般項を求めなさい。（10点）
- \(a_5\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 交点と上下関係
交点の条件を整理すると \(x^2-4x-5=(x+1)(x-5)=0\)。下にある条件はこの積が負になることであり、2つの根の間となる。
- 答え
\[ \boxed{x=-1,\ 5} \] - 答え
\[ \boxed{-1<x<5} \]
第2問 放物線の定義と焦点・準線
標準形 \\(y^2=4px\\) の \(p\) は \(2\)。焦点は \((2,0)\)、準線は \(x=-2\)。点 \(P\) から焦点までは縦方向の距離 \(4\)、準線までは横方向の距離 \(2-(-2)=4\) で一致する。
- 答え
\[ \boxed{\text{焦点}(2,0),\ \text{準線}\ x=-2} \] - 答え
\[ \boxed{\text{どちらも}\ 4} \]
第3問 組合せによる委員選出
順序を区別しないので組合せを使う。男子2人を \(\binom{4}{2}\) 通り、女子1人を3通りで選び、掛け合わせる。全体は \(\binom{7}{3}=35\) 通り。
- 答え
\[ \boxed{18} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{18}{35}} \]
第4問 積分定数と初期条件
不定積分は \(F(x)=x^3-2x^2+C\)。初期条件より \(C=2\)。定積分は原始関数の両端の差であり、\(F(2)-F(0)\) を計算する。積分定数は差で消える。
- 答え
\[ \boxed{F(x)=x^3-2x^2+2} \] - 答え
\[ \boxed{0} \]
第5問 漸化式の固定点と等比数列への変換
定数解 \(a_n=2\) を引くことで \(b_{n+1}=2b_n\)、\(b_1=1\) となる。この等比数列から \(b_n=2^{n-1}\)、\(a_n=2+2^{n-1}\)。
- 答え
\[ \boxed{b_n=2^{n-1}\quad\text{固定点を引くと定数項が消える}} \] - 答え
\[ \boxed{18} \]