大学受験数学 全国模試 第007回
この回のテストポイント
- 第1問：積の符号と整数解（二次不等式）
- 第2問：楕円の焦点と交点（平面上の曲線）
- 第3問：順列の隣接条件と余事象（場合の数）
- 第4問：導関数の符号と極値（微分）
- 第5問：階差数列と平方数の和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次不等式（20点）
\((x-2)(x-6)>0\) を考える。
- 不等式の解を求めなさい。（10点）
- \(0\leq x\leq8\) の整数のうち、この不等式を満たすものの個数を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
楕円 \\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\\) を考える。
- 2つの焦点の座標を求めなさい。（10点）
- 直線 \(x=6\) と楕円の交点を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数（20点）
A、Bを含む互いに異なる \(5\) 人が一列に並ぶ。階乗 \(n!\) を用いて答えてよい。
- AとBが隣り合う並び方は何通りか。（10点）
- AとBが隣り合わない並び方は何通りか。（10点）
第4問 微分（20点）
\(f(x)=x^3-6x^2\) とする。
- 増加する区間と減少する区間を求めなさい。（10点）
- 極大値と極小値を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=2\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) とする。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第5項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 積の符号と整数解
積が正になるのは2つの零点の外側である。指定された整数では \(0,\ldots,1\) の \(2\) 個と、\(7,8\) の2個を数える。零点は含めない。
- 答え
\[ \boxed{x<2\ \text{または}\ x>6} \] - 答え
\[ \boxed{4} \]
第2問 楕円の焦点と交点
長半径は \(a=10\)、短半径は \(b=6\)。焦点距離は \\(c=\sqrt{a^2-b^2}=8\\)。直線を代入すると \\(y^2/36=1-9/25=16/25\\)。
- 答え
\[ \boxed{(8,0),\ (-8,0)} \] - 答え
\[ \boxed{(6,\frac{24}{5}),\ (6,-\frac{24}{5})} \]
第3問 順列の隣接条件と余事象
AとBを1組とみると、組を含む \(4\) 個の並べ方は \(4!\) 通り。組内の順序は2通りである。隣り合わない並び方は全体 \(5!\) から隣り合う並び方を引く。
- 答え
\[ \boxed{2\cdot4!} \] - 答え
\[ \boxed{5!-2\cdot4!} \]
第4問 導関数の符号と極値
\(f'(x)=3x(x-4)\)。導関数は \(x<0\)、\(x>4\) で正、\(0<x<4\) で負。符号が正から負に変わる \(x=0\) で極大、負から正に変わる \(x=4\) で極小となる。
- 答え
\[ \boxed{\text{増加}:x<0,\ x>4;\ \text{減少}:0<x<4} \] - 答え
\[ \boxed{\text{極大値}=0,\ \text{極小値}=-32} \]
第5問 階差数列と平方数の和
\(n\geq2\) では \(a_n=a_1+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=2+n^2-1\)。この式は \(n=1\) でも成り立つ。第5項までの和は \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+5(2-1)\)。
- 答え
\[ \boxed{a_n=n^2+1} \] - 答え
\[ \boxed{60} \]