大学受験数学 全国模試 第006回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係による対称式（二次方程式）
- 第2問：等距離条件から軌跡を導く（図形と方程式）
- 第3問：片側検定の棄却域と結論（統計的な推測）
- 第4問：微分係数と接線の方程式（微分）
- 第5問：等比数列の和から項数を逆算（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
\\(x^2-5x+4=0\\) の2つの解を \(\alpha,\beta\) とする。
- 解を直接求めずに \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
- \(\frac1\alpha+\frac1\beta\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
点 \(A=(-2,0)\)、\(B=(2,0)\) から等距離にある点 \(P=(x,y)\) を考える。
- \(P\) の軌跡の方程式を求めなさい。（10点）
- さらに \(PA=\sqrt{13}\) を満たす \(P\) の座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
製品の平均重量が \(102\) gより小さくなったか調べる。母標準偏差は既知で6 g、母集団は正規分布とする。36個の独立な標本の平均は \(100\) gだった。帰無仮説は \(\mu=102\)、対立仮説は \(\mu<102\)。有意水準5%の下側片側検定の棄却域は \(Z<-1.645\) とする。
- 検定統計量 \(Z\) を求めなさい。（10点）
- 帰無仮説を棄却するか。平均重量について、この検定から言えることを書きなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
曲線 \(y=x^3\) 上の点 \(P=(2,8)\) を考える。
- 点 \(P\) における接線の傾きを求めなさい。（10点）
- この接線の方程式を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
初項 \(2\)、公比2の等比数列を \(\{a_n\}\) とする。
- 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。（10点）
- \(S_n=62\) となる \(n\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係による対称式
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=5\)、\(\alpha\beta=4\)。平方の和は \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)、逆数の和は \((\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\) で求まる。積が0でないことも確認する。
- 答え
\[ \boxed{17} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{5}{4}} \]
第2問 等距離条件から軌跡を導く
\(PA^2=PB^2\) を展開すると \((x+2)^2+y^2=(x-2)^2+y^2\) から \(8x=0\)。軌跡は垂直二等分線である。\(x=0\) を追加条件に代入すると \\(y^2=9\\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0} \] - 答え
\[ \boxed{(0,3),\ (0,-3)} \]
第3問 片側検定の棄却域と結論
帰無仮説の下で標本平均の標準偏差は \(6/\sqrt{36}=1\)。したがって \(Z=(100-102)/1=-2\)。これは棄却域に入るので、有意水準5%で平均が基準値より小さくなったと判断する。
- 答え
\[ \boxed{-2} \] - 答え
\[ \boxed{\text{棄却する。平均重量が基準値より小さいと判断する}} \]
第4問 微分係数と接線の方程式
導関数は \\(y'=3x^2\\) なので、接線の傾きは \(12\)。点と傾きから \(y-8=12(x-2)\) とおき、整理する。
- 答え
\[ \boxed{12} \] - 答え
\[ \boxed{y=12x-16} \]
第5問 等比数列の和から項数を逆算
等比数列の和より \(S_n=2(2^n-1)/(2-1)\)。指定された和から \(2^n-1=31\)、つまり \(2^n=32\) を解く。
- 答え
\[ \boxed{S_n=2(2^n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{n=5} \]