大学受験数学 全国模試 第005回
この回のテストポイント
- 第1問：判別式による実数解の分類（二次方程式）
- 第2問：内分点と点・直線の距離（図形と方程式）
- 第3問：母平均の信頼区間と標本数（統計的な推測）
- 第4問：三角関数の合成と最大値（三角関数）
- 第5問：等差数列の条件から一般項と和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
実数 \(t\) に対して \\(x^2-4x+t=0\\) を考える。
- 異なる2つの実数解をもつ \(t\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 重解をもつときの \(t\) と、その重解を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
\(A=(0,0)\)、\(B=(6,0)\)、\(C=(0,4)\) とする。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(P\) の座標を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) と直線 \(BC\) の距離を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母標準偏差10の正規母集団から100個の独立な標本をとったところ、標本平均は \(52\) だった。母標準偏差は既知とし、95%信頼区間の式 \(\overline x\pm1.96\sigma/\sqrt n\) を用いる。
- 母平均の95%信頼区間を求めなさい。（10点）
- 同じ母標準偏差で区間の幅を半分にしたい。必要な標本数を求めなさい。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(f(\theta)=2\sin\theta+2\cos\theta\)、\(0\leq\theta<2\pi\) とする。
- \(f(\theta)\) を \(R\sin(\theta+\alpha)\) の形で表しなさい。ただし \(R>0\)、\(0<\alpha<\pi/2\)。（10点）
- 最大値と、そのときの \(\theta\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
等差数列 \(\{a_n\}\) は \(a_3=6\)、\(a_7=14\) を満たす。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第10項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 判別式による実数解の分類
判別式は \(D=(-4)^2-4t=4(4-t)\)。異なる2実根の条件は \(D>0\)、重解の条件は \(D=0\) である。重解は軸の位置 \(x=2\) に一致する。
- 答え
\[ \boxed{t<4} \] - 答え
\[ \boxed{t=4,\ x=2} \]
第2問 内分点と点・直線の距離
内分公式より \(P=(2,0)\)。直線 \(BC\) は \(4x+6y-24=0\) である。点と直線の距離の公式 \\(|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}\\) に代入する。
- 答え
\[ \boxed{(2,0)} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{8}{13}\sqrt{13}} \]
第3問 母平均の信頼区間と標本数
誤差の幅は片側 \(1.96\cdot10/10=1.96\)。全幅は3.92となる。幅は \(1/\sqrt n\) に比例するので、半分にするには標本数を4倍にする。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1251}{25}\leq\mu\leq\frac{1349}{25}} \] - 答え
\[ \boxed{400} \]
第4問 三角関数の合成と最大値
加法定理の係数を比べると \(R\cos\alpha=2\)、\(R\sin\alpha=2\)。よって \(R=2\sqrt2\)、\(\alpha=\pi/4\)。最大は \(\sin(\theta+\pi/4)=1\) のときである。
- 答え
\[ \boxed{2\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)} \] - 答え
\[ \boxed{\text{最大値}=2\sqrt2,\ \theta=\frac\pi4} \]
第5問 等差数列の条件から一般項と和
第3項から第7項へ4回公差を加えるので、公差は \((14-6)/4=2\)。初項は \(a_3-4=2\)。和は項数×（初項＋末項）÷2で求める。
- 答え
\[ \boxed{a_n=2+2(n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{110} \]