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大学受験数学 全国模試 第004回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　二次関数（20点）

\(f(x)=(x-2)^2-4\)、\(1\leq x\leq4\) とする。

  1. 最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
  2. 最大値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）

第2問　図形と方程式（20点）

円 \((x-2)^2+(y-2)^2=25\) と、その上の点 \(P=(5,6)\) を考える。

  1. 円の中心と半径を求めなさい。（10点）
  2. 点 \(P\) における接線の方程式を求めなさい。（10点）

第3問　統計的な推測（20点）

母平均 \(2\)、母標準偏差4の正規母集団から、独立に16個を抽出し、標本平均を \(\overline X\) とする。標準正規変数 \(Z\) について \(P(-1\leq Z\leq1)=0.6826\) を使ってよい。

  1. \(\overline X\) の期待値と標準偏差を求めなさい。（10点）
  2. \(P(1\leq\overline X\leq3)\) を求めなさい。（10点）

第4問　三角関数（20点）

\(\theta\) の範囲を \(4\pi\leq\theta<6\pi\) とする。

  1. この範囲で \(\cos2\theta=0\) を満たす \(\theta\) をすべて求めなさい。（10点）
  2. 第1小問の解のうち、\(\sin\theta>0\) となるものをすべて選びなさい。（10点）

第5問　複素数平面（20点）

複素数 \(z\) は \(|z-(2+2i)|=3\) を満たす。

  1. この軌跡の中心を表す複素数と半径を答えなさい。（10点）
  2. この軌跡と直線 \(\operatorname{Re}(z)=k\) との交点を表す複素数をすべて求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　定義域付き最大・最小

軸 \(x=2\) は定義域内にあるので、頂点で最小になる。最大は軸から遠い方の端点でとる。左端では \(f(1)=-3\)、右端では \(f(4)=0\) となる。

  1. 答え
    \[ \boxed{x=2,\ \text{最小値}=-4} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{x=4,\ \text{最大値}=0} \]

第2問　円の方程式と接線

標準形から中心は \((2,2)\)、半径は5。半径の方向は \((3,4)\) なので接線の法線ベクトルも \((3,4)\)。\(3(x-5)+4(y-6)=0\) を整理する。

  1. 答え
    \[ \boxed{\text{中心}(2,2),\ \text{半径}5} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{3x+4y=39} \]

第3問　標本平均の分布と標準化

標本平均の期待値は母平均、標準偏差は \(\sigma/\sqrt n=4/4=1\)。\(Z=(\overline X-2)/1\) と標準化すると、指定区間は \(-1\leq Z\leq1\) に対応する。

  1. 答え
    \[ \boxed{E(\overline X)=2,\ \text{標準偏差}=1} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{0.6826} \]

第4問　倍角公式と区間内の解

\(\phi=\theta-4\pi\) とおけば \(0\leq\phi<2\pi\)。\(2\phi\) の範囲は \(0\leq2\phi<4\pi\) で、余弦が0になる位置を4つ拾う。正弦が正になるのは \(0<\phi<\pi\) である。

  1. 答え
    \[ \boxed{\theta=\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4},\frac{21\pi}{4},\frac{23\pi}{4}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\theta=\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4}} \]

第5問　絶対値の軌跡と円の位置

絶対値は複素数平面上の距離なので中心は \(2+2i\)、半径は3。\(z=2+yi\) を代入すると \(|(y-2)i|=3\)、すなわち \(y=5,-1\)。

  1. 答え
    \[ \boxed{\text{中心}=2+2i,\ \text{半径}=3} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{z=2+5i,\ 2-i} \]