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大学受験数学 全国模試 第003回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　数と式（20点）

\(a=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)、\(b=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\) とする。

  1. \(a\) の分母を有理化しなさい。（10点）
  2. \\(a^2+b^2\\) を求めなさい。（10点）

第2問　図形の性質（20点）

円の外部の点 \(P\) から引いた割線が円と近い順に \(A,B\) で交わり、\(PA=2\)、\(PB=8\) とする。\(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\) とする。

  1. 接線の長さ \(PT\) を求めなさい。（10点）
  2. 同じ点 \(P\) を通る別の割線の交点を近い順に \(C,D\) とし、\(PC=2\) のとき \(PD\) を求めなさい。（10点）

第3問　データの分析（20点）

小さい順に並べた8個のデータは 0、1、2、3、4、5、6、7 である。四分位数は上下各4個の中央値を使う。外れ値は \(Q_1-1.5IQR\) 未満、または \(Q_3+1.5IQR\) より大きい値とする。

  1. 第1四分位数 \(Q_1\)、第3四分位数 \(Q_3\)、四分位範囲 \(IQR\) を求めなさい。（10点）
  2. この基準で、新しい観測値 \(12\) は外れ値か判定しなさい。（10点）

第4問　対数関数（20点）

\(\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1\) を考える。

  1. 真数条件から \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
  2. 方程式の解を求めなさい。（10点）

第5問　複素数平面（20点）

複素数平面上の点Aは \(z=2+i\) を表す。原点を中心に反時計回りに \(90^\circ\) 回転した点をBとする。

  1. Bを表す複素数 \(w\) を求めなさい。（10点）
  2. 線分ABの長さの2乗を求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　分母の有理化と共役な式

分母・分子に共役な式を掛けると分母は \((3)-2=1\)。よって \(a=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)、\(b=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)。平方の和では根号を含む交差項が打ち消し合う。

  1. 答え
    \[ \boxed{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{10} \]

第2問　円の接線と方べき

方べきの定理より \(PT^2=PA\cdot PB=16\)。別の割線でも \(PC\cdot PD=16\) である。長さは正なので平方根の正の値をとる。

  1. 答え
    \[ \boxed{4} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{8} \]

第3問　四分位数と外れ値の判定

下半分の中央2値の平均は \((1+2)/2\)、上半分は \((5+6)/2\)。その差は4である。上側の境界は \(\frac{11}{2}+6=\frac{23}{2}\)。新しい値はこの境界より大きい。

  1. 答え
    \[ \boxed{Q_1=\frac{3}{2},\ Q_3=\frac{11}{2},\ IQR=4} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\text{外れ値である}} \]

第4問　真数条件と対数方程式

両真数が正である条件は \(x>3\)。対数の和を積にまとめると \((x-2)(x-3)=2\)。\(u=x-2\) とおけば \(u(u-1)=2\) より \(u=2,-1\)。真数条件を満たす方だけを採用する。

  1. 答え
    \[ \boxed{x>3} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{x=4} \]

第5問　複素数の乗法による回転

反時計回りの \(90^\circ\) 回転は \(i\) を掛ける操作である。\(w=i(2+i)=-1+2i\)。\(w-z=(-3)+1i\) の絶対値の2乗は実部と虚部の平方和。

  1. 答え
    \[ \boxed{w=-1+2i} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{10} \]